Niveau première

fonction et dérivée

Posté par myrtille (invité) 23-01-05 à 16:07

Bonjour! j'ai un peu de mal avec cet exercice, vous pouriez m'aider s'il vous plaît?

On considère la fonction f(x)= x^3+3x^2+3x et C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j)
Soit P (a, f(a)) un point quelconque de la courbe C
Montrer que al tangente en P à la courbe C recoupe C en un point Q et l'axe des abscisses en un point R
Donner les coordonnées de Q et R.

J'ai déhà calculé la dérivée d ela fonction : 3x^2+6x+3 mais je ne sais pas comment calculé la tangente et comment se servir de l'équation de la tangente pour calculer P, Q, et R.

Merci de votre aide

Posté par re : fonction et dérivée 23-01-05 à 16:55

bonjour,

je ne trouve pas grand chose mais la derivee f'(x)= 3(x+1)^2 et l'equation de la tangente est y = 3x(a+1)^2 + a^2 (a-3). apres avoir trace la courbe la tangente ne doit remplir les conditions du probleme que pour des valeurs de a tels que -3<a<+1 mais tout ceci est tres approximatif

a plus tard

Posté par re : fonction et dérivée 23-01-05 à 17:03

bonjour,
je ne trouve pas grand chose mais la derivee est f'(x) = 3(x+1)^2 donc l'equation de la tangente est y = 3x(a+1)^2 + a^2(a-3). Apres avoir trace la courbe la tangente ne doit remplir les conditions du probleme que pour des valeurs de a tels que -3<a<+1 mais tout ceci est tres approximatif.

A plus tard

Posté par slybar (invité)re : fonction et dérivée 23-01-05 à 17:10

Bonjour,

f(x)= $x^3+3x^2+3x$
$f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2$

équation de la tangente $\Delta$ au point P :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
$y=3(a+1)^2(x-a)+a^3+3a^2+3a$
$y=3(a+1)^2x-3a(a^2+2a+1)+a^3+3a^2+3a$
$y=3(a+1)^2x-2a^3-3a^2=3(a+1)^2x-a^2(2a+3)$

Si $\Delta$ coupe l'axe des abscisses :
résoudre y=0
$3(a+1)^2x-a^2(2a+3)=0$
$x=\frac{a^2(2a+3)}{3(a+1)^2}$

R( $\frac{a^2(2a+3)}{3(a+1)^2};0$ )

Si $\Delta$ coupe C :
alors résoudre y=f(x)
$3(a+1)^2x-a^2(2a+3)=x^3+3x^2+3x$
$x^3+3x^2+x(3-3a^2-6a-3)+a^2(2a+3)=0$
$x^3+3x^2-3ax(a+2)+a^2(2a+3)=0$

deplus on sait que $\Delta$ coupe C en P(a;f(a))
donc $x^3+3x^2-3ax(a+2)-a^2(2a-3)=0\leftrightarrow(x-a)(bx^2+cx+d)=0$
$bx^3+cx^2+dx-bax^2-cax-da=x^3+3x^2-3ax(a+2)-a^2(2a-3)$
donc
b=1
c-ba=3 c=3+a
d-ca=-3a(a+2) d=-3a²-6a+3a+a²=-2a²-3a=-a(2a+3)
-da=a²(2a+3) d=-a(2a+3)

donc $x^3+3x^2-3ax(a+2)-a^2(2a-3)=0\leftrightarrow(x-a)(x^2+x(3+a)-a(2a+3))=0$
là je bloque

Posté par myrtille (invité)re : fonction et dérivée 25-01-05 à 20:04

je vous remercie de votre aide mais je n'arrive aps à finir il me manque les coordonnées de Q. Pourriez m'aider à les trouver svp? Merci

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