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Fonction et dérivée

Posté par
Laura29
24-01-16 à 11:04

Bonjour ; j'ai un exercice à faire et je n'ai pas tout bien compris . Pouriez vous m'aidez ?
Soit f la fonction définie sur R\(-2) par f(x)= (x^2+5)/(x+2) et c sa courbe .
1) étudier les limites de f en + et en - en factorisant le dénominateur et numérateur par x et simplifier puis déterminer la limite en -2^+ et en -2^-

En - et + j ai déduit que les limites tendent vers 0 après je n ai pas reussi .

2) effectuer la division euclidienne de x^2+5 par x+2 . En déduire une écriture de f(x) sous la forme f(x)=ax+b+ ((c/(x+2))
J ai trouve pour la division (x+2)(x+2)+1 après je n ai pas reussi

3) étudier la limite lorsque x tend vers l'infini de f(x)-(x-2). Que peut on en conclure concernant la courbe c et la droite d y=x-2?

4) trouver la fonction dérivée f' de la fonction f
J ai trouvé f'(x)= (x^2-1)/((x+2)^2)

5) déterminer une équation de la tangente t à la courbe c au point d abscisse x=-1
J ai 6 je pense que je me suis trompée

6) résoudre x^2+4x-5=0 puis l inéquation f'(x)0
Pour l équation j ai 2 solution (arrondie ) -3,32 et -0,68  pour l inéquation je ne suis pas sure de la méthode à adopter vu que c est une fraction

7) déterminer les variations de f puis construire le tableau de variations
Je sais qu il faut utiliser la dérivée

Posté par
pgeod
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 11:20

Soit f la fonction définie sur R\(-2) par f(x)= (x^2+5)/(x+2) et c sa courbe .

1) étudier les limites de f en + et en - en factorisant le dénominateur et numérateur par x :

f(x) = x² ( 1 + 5/x²) / [x (1 + 2/x)] =  x (1 + 5/x²) / (1 + 2/x)

2/x  tend vers 0 en +/- oo
(1 + 2/x) tend vers 1 en +/- oo

5/x² tend vers 0 en +/- oo
(1 + 5/x²)  tend vers 1 en +/- oo

donc f(x) tend vers x en +/- oo

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 11:25

Merci ; je pense avoir saisi . Mais dois je procéder pareille pour les limites en -2 et 2+?

Posté par
pgeod
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 11:29


Soit f la fonction définie sur R\(-2) par f(x)= (x^2+5)/(x+2) et c sa courbe .

1) étudier les limites de f  en -2^+ et en -2^-

(x² + 5) tend vers   9 en -2
(x + 2)  tend vers  0+ en -2+

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 12:45

Pourriez vous m'aider pour la suite et le dire si ce que j ai fait est juste ?

Posté par
Laura29
Fonction 24-01-16 à 15:48

J'aurais besoin d aide
La question dans laquelle je bloque est la suivante :
Effectuer la division euclidienne de x^2+5 par x+2 et écrire le résultat sous la forme d'une égalité .
En déduire une écriture de f(x) sous la forme f(x) =ax+b+(c/(x+2))

J ai trouve pour la division (x+2)(x+2)+1 c est pour la suite que je bloque pourriez vous m'aidez , ?

*** message déplacé ***

Posté par
mdr_non
re : Fonction 24-01-16 à 15:49

bonjour : )

Tu n'as pas écrit ton énoncé. Merci de le recopier intégralement dans ton prochain message.

*** message déplacé ***

Posté par
Laura29
re : Fonction 24-01-16 à 15:52

L'ennoncé est soit f la fonction définie sur R\(2) par f(x) (x^2+5)/(x+2) et (c) sa courbe représentative dans un repère orthonomé .

*** message déplacé ***

Posté par
mdr_non
re : Fonction 24-01-16 à 15:57

...

Tu dis que : x² + 5 = (x + 2)(x + 2) + 1, c'est faux.

(x + 2)(x + 2) + 1 = x² + 4x + 4 + 1 = x² + 4x + 5.

Tu peux commencer par corriger ta division euclidienne, il te suffira ensuite de remplacer dans f(x) et simplifier...

*** message déplacé ***

Posté par
Laura29
re : Fonction 24-01-16 à 16:01

Cela donne donc x^2 +4x +(5/(x+2)) ?

*** message déplacé ***

Posté par
mdr_non
re : Fonction 24-01-16 à 16:03

Tu n'as lu que la dernière partie du message ignorant tout ce qu'il y avait avant d'important.


Citation :
Tu dis que : x² + 5 = (x + 2)(x + 2) + 1, c'est faux.
...
Tu peux commencer par corriger ta division euclidienne, ...


*** message déplacé ***

Posté par
Laura29
re : Fonction 24-01-16 à 16:09

Mais je ne vois pas où est mon erreur dans la division euclidienne ... L'on est obligé de diviser par x+2

*** message déplacé ***

Posté par
mdr_non
re : Fonction 24-01-16 à 16:12

Tu ne vois pas que :
x² + 5 n'est pas égal à (x + 2)(x + 2) + 1 ?

alors que je t'ai écrit que (x + 2)(x + 2) + 1 = x² + 4x + 4 + 1 = x² + 4x + 5 ?

*** message déplacé ***

Posté par
Laura29
re : Fonction 24-01-16 à 16:18

Si j ai compris je suis en train d essayer de la refaire actuellement

*** message déplacé ***

Posté par
Laura29
re : Fonction 24-01-16 à 16:31

C est (x+2)(x-2)+9
Donc c est x^2-4+(9/x+2)

*** message déplacé ***

Posté par
mdr_non
re : Fonction 24-01-16 à 16:35

Oui pour la division euclidienne.

x² + 5 = (x + 2)(x - 2) + 9

Mais non pour le reste. Tu vois d'ailleurs que ça ne correspond pas à ce que l'énoncé te demande... Il ne doit pas y avoir de x²...



\large \frac{x^2 + 5}{x + 2} 
 \\ 
 \\ = \frac{(x + 2)(x - 2) + 9}{x + 2} 
 \\ 
 \\ = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2} + \frac{9}{x + 2} 
 \\ 
 \\ = x - 2 + \frac{9}{x + 2}

*** message déplacé ***

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 16:35

Pourrais je avoir de l aide pour la question 3 étudier la limite lorsque x tend vers l'infini de f(x)-(x-2) ? Que peut on en conclure en ce qui concerne la courbe c et la droite d y=x-2 ??????????

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 16:38

bonjour : )

Maintenant que tu as enfin correctement répondu à la question 2)
tu peux écrire ce que vaut f(x) - (x - 2),
et tu peux calculer la limite à l'infini de f(x) - (x - 2)...

Posté par
Laura29
re : Fonction 24-01-16 à 16:38

Ah oui ! C'est en effet faut ce que j'avais mis ... Merci beaucoup pour votre aide je comprend mieux les erreurs à présent

*** message déplacé ***

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 16:45

Je dois alors réutiliser f(x) de la question 2 ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 16:48

Oui, c'est bien la forme de f(x) la plus simple pour répondre à cette question.

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 16:50

C est alors (x-2+(9/x+2))-(x-2)
Il faut que je développe ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 16:52

Essaye des choses par toi même : développer etc.,
si tu n'aboutis pas tu peux revenir poser des questions et je t'aiderai.

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 17:03

J ai développé et j'ai retrouvé la fonction de départ : (x^2+5)/(x+2) est ce correct , ,?

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 17:05

Non c'est impossible.

On ne peut pas avoir f(x) - (x - 2) = f(x).



On a f(x) = x - 2 + 9/(x + 2)

donc f(x) - (x - 2) = x - 2 + 9/(x + 2) - (x - 2) = x - 2 + 9/(x + 2) - x - 2 = 9/(x + 2).

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 17:06

Citation :
Non c'est impossible.

On ne peut pas avoir f(x) - (x - 2) = f(x).



On a f(x) = x - 2 + 9/(x + 2)

donc f(x) - (x - 2) = x - 2 + 9/(x + 2) - (x - 2) = x - 2 + 9/(x + 2) - x + 2 = 9/(x + 2).

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 17:20

La limite tend donc vers 0 car c est une fraction ?

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 17:24

La limite tend vers 0 ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 17:30

Oui,

La limite est 0 car :
le dénominateur tend vers l'infini et le numérateur est un nombre constant (9).

Et 'nombre constant'/'nombre infiniment grand' = 'nombre infiniment petit'
tu peux faire l'essaie à la calculatrice : 9/9999999999999 = un nombre très très petit (proche de 0).

ok

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 17:36

Merci pour cette éclaircissement 😉
Pourriez vous me dire si la fonction dérivée est juste : f'(x):(x^2-1)/((x+2)^2) ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 17:50

Non c'est faux.


f(x) = x - 2 + 9/(x + 2), il est facile de dériver 'x - 2' et '9/(x + 2)' se dérive comme 1/u.
donc f'(x) = 1 - 9/(x + 2)²
ou si tu veux f'(x) = (x² + 4x - 5)/(x + 2)²


En partant de l'expression initiale on trouvera le même résultat bien heureusement,
f(x) = (x² + 5)/(x + 2) de la forme u/v
f'(x) = [2x(x + 2) - (x² + 5)]/(x + 2)² = (2x² + 4x - x² - 5)/(x + 2)² = (x² + 4x - 5)/(x + 2)²


5) A refaire.
La tangente à Cf au point d'abscisse x = a, a pour équation :
y = f'(a)(x - a) + f(a)

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 18:10

La tangente a pour équation -8x+14?


Pour la question 7 je calcul avec delta le numérateur et le dénominateur est toujours positif ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 18:20

Citation :
La tangente a pour équation -8x+14?
Non, des erreurs de calculs encore.

f'(-1) = -8 je suis d'accord.
f(-1) = 6

d'où une tangente d'équation y = -8(x - (-1)) + 6 = -8(x + 1) + 6 = -8x - 2


Citation :
6) résoudre x^2+4x-5=0 puis l inéquation f'(x)0
Pour l équation j ai 2 solution (arrondie ) -3,32 et -0,68  pour l inéquation je ne suis pas sure de la méthode à adopter vu que c est une fraction

L'énoncé ne te précise pas de donner des valeurs arrondies donne donc les valeurs exactes.
Et elles sont fausses.

Les 2 solutions à l'équation x² + 4x - 5 = 0 sont x = -5 et x = 1.

Résoudre f'(x) >= 0 :
le dénominateur de f'(x) est un carré, il est donc toujours positif ; on peut donc écrire que f'(x) est du signe de son numérateur.

le numérateur est un trinôme du second degré qui admet deux racines distinctes, il est donc du signe de a (ici a = 1 et a est positif) à l'éxtérieur de ses racines et du signe de -a (c'est à dire négatif) à l'intérieur de ses racines.

Donc conclusion pour la question 6) ?

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 19:41

Donc f'(x) est positif par conséquent les variations de f sont croissante à l extérieur des racines ( -5 et -1) et décroissante à l'intérieure !

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 24-01-16 à 20:16

Citation :
Donc f'(x) est positif par conséquent les variations de f sont croissante à l extérieur des racines ( -5 et -1) et décroissante à l'intérieure !
Non attention.

Tu écris que f'(x) est positif et tu ne précises pas le(s) intervalle(s). Et tu parles de -1 alors que c'est 1.
Il faut te concentrer.

f'(x) est positif sur ]-infini , -5] [1 , +infini[ et donc f est croissante sur ]-infini , -5] [1 , +infini[.
f'(x) est négatif sur [-5 , -2[ ]-2 , 1] et donc f est décroissante sur [-5 , -2[ ]-2 , 1].


\begin{array}{|c|ccccccccccc|}\hline x & -\infty && -5 &&&-2 &&& 1 && +\infty
 \\ \hline x^2 + 4x - 5 && + &0& - &&|&& - &0& + &
 \\ \hline f'(x) && + &0& - &&||&& - &0& + &
 \\ \hline f(x) &\begin{matrix}
 \\ 
 \\ -\infty\end{matrix}& \begin{matrix}
 \\ \nearrow
 \\ \end{matrix} &\begin{matrix}-10
 \\ 
 \\ \end{matrix}& \begin{matrix}
 \\ \searrow
 \\ \end{matrix} &\begin{matrix}
 \\ 
 \\ -\infty\end{matrix}&\begin{matrix}||
 \\ ||
 \\ ||\end{matrix}&\begin{matrix}+\infty
 \\ 
 \\ \end{matrix}& \begin{matrix}
 \\ \searrow
 \\ \end{matrix} &\begin{matrix}
 \\ 
 \\ 2\end{matrix}& \begin{matrix}
 \\ \nearrow
 \\ \end{matrix} &\begin{matrix}+\infty
 \\ 
 \\ \end{matrix}
 \\ \hline \end{array}

Posté par
Laura29
re : Fonction et dérivée 29-01-16 à 19:33

Oui j'ai bien compris pour le tableau ! Pourrais je avoir De l'aide pour la question 1 ? Je ne crois pas encore avoir tout saisi ...

Posté par
mdr_non
re : Fonction et dérivée 31-01-16 à 12:18

f(x) = (x^2 + 5) / (x + 2) = (x + 5/x) / (1 + 2/x)

Quand tend vers +infini,
le dénominateur 1 + 2/x tend vers 1 ;
le numérateur x + 5/x tend vers +infini ;
donc le quotient f(x) tend vers +infini.


Quand x tend vers -infini,
le dénominateur 1 + 2/x tend vers 1 ;
le numérateur x + 5/x tend vers -infini ;
donc le quotient f(x) tend vers -infini


Quand x tend vers -2- (par exemple -2.0000001)
le dénominateur x + 2 tend vers 0- (par exemple -0.0000001) ;
le numérateur x^2 + 5 tend vers 9 ;
donc le quotient f(x) tend vers -infini


Quand x tend vers -2+ (par exemple -1.9999999)
le dénominateur x + 2 tend vers 0+ (par exemple 0.0000001) ;
le numérateur x^2 + 5 tend vers 9 ;
donc le quotient f(x) tend vers +infini



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