Bonjour.

f(x)=(ax+b)/(cx+d)

f(-d/c-x)+f(-d/c+x)=2a/c, ce qui veut bien dire que (-d/c ; a/c) est centre de symétrie.

f'(x)=(ad-bc)/(cx+d)², alors (ad-bc)>0f strictement croissante croissante

Bonjour,

Si ino était en seconde et vient juste de s'inscrire dans le niveau première, alors il est normal que la démonstration du sens de variation n'ait pas été faite (les dérivées ne sont vues qu'en première).
De même, les démonstrations relatives aux symétries (axe de symétrie ou centre de symétrie) ne sont plus exigibles en seconde (sauf à déborder un peu du programme, ce que font beaucoup de professeurs en exercice ...)

Je passe en terminale
Je revois le programme de première

J'ai compris pour le sens de variation mais pas pour le centre de symétrie

William a seulement appliquer la définition du point de symétrie !
A savoir :[En gardant les notations] A(xo,yo) est le centre de symétrie de f ssi pour tout x on a f(xo-x)+f(x0+x)=2yo (E)

Le couple (-d/c;a/c) vérifie bien (E).

En effet.

La définition peut paraître curieuse, mais que veut dire être centre de symétrie ? Cela veut dire que pour tout x, (x0,y0) est le milieu du segment dont les extrémités ont pour coordonnées (x-x0,f(x-x0)) et (x+x0,f(x+x0)).
Cela s'écrit : (x0,y0)=[(x-x0,f(x-x0))+(x+x0,f(x+x0))]/2, d'où f(x-x0)+f(x+x0)=2y0

Merci pour votre aide

Et comment démontrer que la deuxième asymptote a pour équation y=a/b

Bonjour !

Soit une hyperbole équilatère d'équation : f(x)=(ax+b)/(cx+d)
On vient de démontrer que le centre de symétrie d'une hyperbole est le point  (-d/c ; a/c).

Ces deux asymptotes sont donc x=-d/c et y=a/c et non y=a/b

Pour démontrer cela :
Lim(f(x),+inf)=lim(a.x/c.x,+inf) (car la limite en l'infini d'un quotient de deux fonctions polynômes est la limite de ses coefficients directeurs)
Lim(f(x),+inf)=a/c

Donc la droite horizontale y(x)=a/c est asymptote de f(x).

Merci de votre aide

Est ce qu'il y a une autre méthode car je n'ai pas encore vu les limites ?

Ah, au temps pour moi…

Il existe pas mal de façon de démontrer cela, mais parler d'asymptote sans évoquer la notion de limite, c'est un peu étonnant =/

Le plus simple serait sans doute de s'appuyer sur ce que l'on a démontré plus tôt :
Le centre de symétrie d'une hyperbole équilatère de fonction f(x)=(a.x+b)/(c.x+d) est le point (-d/c , a/c)

On sait que les deux asymptotes de l'hyperbole se croisent en son centre de symétrie.

L'hyperbole étant équilatère, c'est-à-dire de la forme f(x)=(a.x+b)/(c.x+d), ses asymptotes sont verticale et horizontale (Voir image ci-dessous)

Le point d'intersection des deux asymptotes est le centre de symétrie (-d/c , a/c), ses asymptotes sont donc :
x=-d/c et y=a/c

S'il te faut une démonstration différente,  il me faudrait tes formules liées aux asymptotes

Bonjour,

Parler d'asymptotes sans "les limites" c'est parler dans le vide
on peut toujours prendre comme axiome[] :
on appelle asymptotes les droites y = a/c et x = -d/c et le centre est leur point d'intersection (-d/C; a/c) et basta, on apprend par coeur et on range ça avec = b² - 4ac et autres trucs du genre. (dans son formulaire "à apprendre par coeur sans comprendre")

démontrer que ce sont des asymptotes nécessite d'utiliser la définition de ce qu'est une asymptote :
une droite telle que la distance du point courant à la droite tend vers 0 quand x ou y tendent vers l'infini.
les limites sont incontournables dans la définition même de "asymptote".

alors si on ne sait pas calculer des limites, on ne peut que se contenter d'observer (graphiquement) que oui, ça semble bien être l'asymptote ...

mais en première si, on sait calculer des limites (simples), on en a déja fait, quand on a calculé des nombres dérivés et autres trucs du genre.

alors vérifier que quand x , (ax+b)/(cx+d) a/c, on doit (devrait) savoir faire.

le mieux ici est de dire que x 1/x 0
et calculer la limite quand 1/x 0 de (a + b/x)/(c + d/x)
limite qui est "trivialement" (a + 0*b)/(c + 0*d) = a/c

Poulpi,

ça un poulpe ??

sinon tu tournes en rond avec tes définitions, encore faudrait il prouver que y = (ax+b)/(cx+d) est une "hyperbole équilatère", mais qu'est ce qu'une hyperbole ?
a-t-on seulement prouvé (défini) que y = 1/x est elle aussi une hyperbole équilatère d'asymtotes "par définition" les axes de coordonnées (sans même définir ce qu'est une asymptote en plus) ?
maizalors est une simple vérification algébrique (réduction de fractions) et montre que l'on a "dilaté" l'hyperbole y = 1/x dans le facteur , donc toujours une hyperbole équilatère d'asymptotes les axes,
puis que l'on a translaté en x de -d/c et en y de a/c, sans rien changer d'autre et que les asymptotes ont "suivi" cette translation avec la courbe.

J'ai eu du mal à comprendre le dessin de Poulpi au début. Mais heureusement son pouple m'a éclairé !

Merci pour vos explications

Bravo pour le pouple

Je pense que je vais laisser tomber, je vais attendre la leçon sur les limites.
Mais en ce moment je revois le programme de première et je n'aime pas apprendre les choses par cœur sans savoir d'où proviennent tous ces théorèmes.