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Niveau première
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Fonction racine carré, Algorithmique

Posté par
Gateau1998
08-11-14 à 15:33

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais j'y arrive pas,je ne sais pas comment commencer.
En plus on n' a pas encore fait la leçon donc c'est assez dur là.
Soit f la fonctiom définie sur [0;+inf[ par f(x) = racine de 3 et C sa courbe représentative dans un repère (O; i, j) du plan.
a. Écrire un programme qui compare les valeurs de f( (a+b) / 2 ) et ( f(a) + f(b) )/2, pour deux nombres positifs a et b donnés en entrée.
Le tester pour des valeurs variés de a et b
Que peut-on conjecturer ?
b. Montrer que, pour tous reels positifs a et b, on a:
f( (a+b) /2 ) > (ou egal) ( f(a) + f(b) / 2 )
Et je sais pas comment comparer ces 2calculs, j'ai essayé avec valeurs pour a et b et on voit que  le résultat est très proche mais cest tout ^^'

Posté par
LeDino
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 15:39

Citation :
Soit f la fonctiom définie sur [0;+inf[ par f(x) = racine de 3

Vérifie ton énoncé : l'expression de f(x) n'est certainement pas celle-ci...
Et pas d'énoncé... pas de réponse ...

Posté par
LeDino
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 16:00

Algorithme, si f(x) = racine(x)...


VARIABLES
   a EST_DU_TYPE NOMBRE
   b EST_DU_TYPE NOMBRE
   y1 EST_DU_TYPE NOMBRE
   y2 EST_DU_TYPE NOMBRE
   MSG EST_DU_TYPE CHAINE

DEBUT_ALGORITHME
   LIRE a
   LIRE b
   y1 PREND_LA_VALEUR sqrt((a+b)/2)
   y2 PREND_LA_VALEUR (sqrt(a)+sqrt(b))/2
   MSG PREND_LA_VALEUR "f[ (a+b)/2 ]  =  " + y1
   AFFICHER* MSG
   MSG PREND_LA_VALEUR "[f(a)+f(b)]/2 =  " + y2
   AFFICHER* MSG

FIN_ALGORITHME

Posté par
LeDino
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 16:43

Pour :  f(x) = \sqrt x    ... prouver :    f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \ge \dfrac{f(a)+f(b)}{2}

On pose :    \boxed { A = \sqrt{\dfrac{a+b}{2}} }     \boxed {  B = \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}  }    ... et on veut prouver que :  \boxed {  A \ge B  }

On cherche donc le signe de :   (A-B)
Qui est le même que celui de :  (A^2 - B^2) = (A-B).(A+B)     ... car A et B positifs donc (A+B) aussi.

A^2 - B^2  =  \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2^2}

A^2 - B^2  =  \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{a + b + 2.\sqrt{a}.\sqrt{b}}{4}

A^2 - B^2  =  \dfrac{a+b}{4} - \dfrac{\sqrt{ab}}{2}

On pose :   C = \dfrac{a+b}{4} + \dfrac{\sqrt{ab}}{2} > 0
Et donc :   (A-B)  a le même signe que  D = 4.C.(A^2-B^2)

D = 4.C.(A^2- B^2)  = 4.\left(\dfrac{a+b}{4} + \dfrac{\sqrt{ab}}{2}\right).\left(\dfrac{a+b}{4} - \dfrac{\sqrt{ab}}{2}\right) = \left(\dfrac{a+b}{2} + \sqrt{ab}\right).\left(\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab}\right)

D = \dfrac{a^2+2ab+b^2}{4} - ab = \dfrac{a^2-2ab+b^2}{4} = \left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2 \ge 0    ... puisque c'est un carré.

Donc  :  D \ge 0  \implies  (A-B) \ge 0  \implies  \boxed {  A \ge B  }   ... CQFD

Posté par
Gateau1998
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 16:44

@LeDino
je pense que tu parles du carré mais non l'enoncé c'est bien ça.
Et merci pour ton algo je vais le regarder tout de suite ^-^

Posté par
Gateau1998
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 17:04

L'algo je vais le marquer sur une feuille parce que je me rappelle plus du tout des touches de la calculatrice pour l'algo ^^'
Et merci beaucoup pour ton autre réponse j'ai bien compris en plus Mais j'aurais pas trouvé..

Posté par
LeDino
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 17:27

Citation :
Et merci beaucoup pour ton autre réponse j'ai bien compris en plus...
Cool .

Citation :
Mais j'aurais pas trouvé..
C'est assez normal : c'est un exercice plutôt difficile pour le niveau première.
C'est pour ça que j'ai donné la solution directement, et pas juste une indication...

Mais pour que ce soit profitable pour toi, ce qu'il FAUT ABSOLUMENT FAIRE, c'est que tu prennes du papier et un stylo et que tu refasses PAR TOI MEME toute la démonstration, en te référant le moins possible à la mienne.

Lorsque tu seras capable de refaire la démonstration tout seul : tu auras vraiment franchi un cap .
Bon courage !
Et n'hésite pas à revenir dire si tu as réussi... ça fait toujours plaisir à savoir ...

Posté par
Gateau1998
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 17:53

Citation :
C'est assez normal : c'est un exercice plutôt difficile pour le niveau première.
C'est pour ça que j'ai donné la solution directement, et pas juste une indication...


Ben notre prof nous donne toujours des exos difficile, même en contrôle.

Citation :
Mais pour que ce soit profitable pour toi, ce qu'il FAUT ABSOLUMENT FAIRE, c'est que tu prennes du papier et un stylo et que tu refasses PAR TOI MEME toute la démonstration, en te référant le moins possible à la mienne. 

Lorsque tu seras capable de refaire la démonstration tout seul : tu auras vraiment franchi un cap . 
Bon courage ! 
Et n'hésite pas à revenir dire si tu as réussi... ça fait toujours plaisir à savoir ...


C'est ce que ma mère m'a dit, je vais essayer de le refaire tout de suite ^^

Posté par
alb12
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 17:54

salut, peut-on raccourcir la demo ainsi ?

A^2 - B^2  =  \dfrac{a+b}{4} - \dfrac{\sqrt{ab}}{2}

A^2 - B^2  =  \dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}

A^2 - B^2  =  \dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{4}

Posté par
Gateau1998
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 18:52

@alb12
Pourquoi tu trouves paq le même résultat  que LeDino ? (toi t'as des racines et lui non)

Posté par
Gateau1998
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 18:52

*pas

Posté par
LeDino
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 19:02

Bonsoir alb12.
Je n'avais pas vu cette astuce simplissime.
Bravo et merci .

Pour Gateau1998 : le raccourci d'alb12 est parfaitement valable et bien meilleur que ce que j'ai proposé qui est carrément "lourdingue" à côté...
Ce raccourci consiste à voir que A² - B² peut s'écrire directement lui même sous la forme d'un carré parfait.
Le "résultat" n'est pas le même parce qu'il a réussi à mettre directement A² - B² sous la forme d'un carré, sans multiplier par C comme je l'ai fait.

Posté par
LeDino
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 19:07

On reprend avec la simplification d'alb12 :

On pose :    \boxed { A = \sqrt{\dfrac{a+b}{2}} }     \boxed {  B = \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}  }    ... et on veut prouver que :  \boxed {  A \ge B  }

On cherche donc le signe de :   (A-B)
Qui est le même que celui de :  (A^2 - B^2) = (A-B).(A+B)     ... car A et B positifs donc (A+B) aussi.

A^2 - B^2  =  \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2^2}

A^2 - B^2  =  \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{a + b + 2.\sqrt{a}.\sqrt{b}}{4}

A^2 - B^2  =  \dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}  =  \dfrac{(\sqrt a - \sqrt b)^2}{4}  \ge  0

\implies  \boxed {  A \ge B  }   ... CQFD

Posté par
LeDino
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 19:08

C'est beaucoup plus joli comme ça...
Merci alb12 !

Posté par
Gateau1998
re : Fonction racine carré, Algorithmique 08-11-14 à 20:02

@LeDino J'ai essayer de refaire l'exo mais je vois comment t'as trouvé qu'il fallait multiplier C par 4. Et d'accord je viens de comprendre pour la technique de alb12 !! Fallait juste déplacer le +b apres avoir fait Aau carré - Bau carré pour voir l'identité remarquable !! :0

Du coup merci à vous deux ^-^

Posté par
LeDino
re : Fonction racine carré, Algorithmique 09-11-14 à 00:49

Je suis impardonnable de ne pas avoir vu l'astuce d'alb12, ce d'autant que l'identité remarquable appliquée est exactement la même que celle appliquée immédiatement avant pour passer de la ligne 1 à la ligne 2, avec un signe moins et dans le sens inverse...

Enfin heureusement qu'un matheux moins distrait est passé par là.
Et surtout le principal : que tu aies tout compris !

Posté par
Gateau1998
re : Fonction racine carré, Algorithmique 09-11-14 à 10:54

Ah ouais c'est vrai !
Haha ouais au moins j'aurais appris deux méthodes ^^



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