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fonction racine carrée

Posté par
Emeline26 26-12-14 à 11:44

bonjour je suis bloquée dans mon exercice de maths, un peu d'aide serait la bienvenue

exercice: f(x)=25-x2
1. determiner Df, puis son domaine de dérivabilité
2.donner l'expression de sa fonction dérivée
3. dresser le tableau de variation de la fonction f
4. determiner l'equation de la tangente au point A,point de la courbe représentative Cf d'abscisse -3
5. dans le meme repere orthonormé,construire Cf et la tangente précédente
6. on appelle M(x;y) un point quelconque de Cf. calculer la longueur 0M, ou 0 est l'origine du repère. que peut-on en déduire ?

Je pense pouvoir répondre a toute les questions cependant je n'arrive pas a trouver le domaine de dérivabilité, je ne l'ai jamais fait mais j'ai vu sur internet qu'il faut caculer f'(x) mais je n'y arrive pas il y a trop de racine carrée et je ne maitrise pas bien :S

merci d'avance!

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 26-12-14 à 12:11

Bonjour,

Je suppose que le x2 est aussi sous la racine ...

Qu'as-tu trouvé à D_f ?

Posté par
pythamedere : fonction racine carrée 26-12-14 à 12:11

Bonjour,

(\sqrt{25})-x^2 ou \sqrt{(25-x^2)} ?

Pour préciser de quoi on prend la racine carrée, il faut mettre des parenthèses ! Sinon, la racine est forcément sur le premier terme qui suit !

Donc, pour \sqrt{(25-x^2)} il fallait écrire (25-x²)

Posté par
Emeline26maths 26-12-14 à 13:17

Bonjour , j'ai oublie de mettre mes resultats

ah ok, c'est: (25-x2)

1. Pour le domaine de definition je trouve: Df= [-5;5]
ensuite pour le domaine de dérivabilité j'ai fait:
(f(x+h)-f(x)/h= ((25-(x+h)2)-(25-x2))/h
= ((25-(x2+2xh+h2)-(25-x2))/h
= ((25-x2-2xh-h2)-(25-x2))/h
je ne sais pas si ce que j'ai fait et juste et apres je n'arrive pas a simplifier mon calcul

merci

Posté par
pythamedere : fonction racine carrée 26-12-14 à 13:58

Attention aux parenthèses manquantes...

Mais c'est à peu près bon.

Multiplie et divise par la quantité conjuguée !

Posté par
Emeline26maths 28-12-14 à 12:16

la quantité conjuguée ?
je voulais enlever les racines carrées mais les valeurs sont négatives il est possible de multiplié par -1 pour qu'elles deviennent positives ?

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 28-12-14 à 14:44

Commencer par ma question de 12:11 n'était pas anodin.

Ton domaine est D_f=[-5,5]

Une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en chaque point de I.

Ici ton intervalle à considérer est I=D_f=[-5,+5]

Donc la fonction f  est dérivable sur I=D_f si elle est dérivable en chaque point x_0\inI=D_f.

La fonction f est dérivable en x_0   si   \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}   existe et est finie.

Si tel est le cas, alors la fonction  f  est dérivable en x_0  et cette limite s'appelle nombre dérivé de  f   en x_0 et se note f'(x_0).

Il correspond à la pente de la tangente à la courbe de la fonction  f   en x_0

Donc :

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt{25-x^2}-\sqrt{25-x_0^2}}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{(\sqrt{25-x^2}-\sqrt{25-x_0^2})\times(\overbrace{\sqrt{25-x^2}+\sqrt{25-x_0^2})}^{\text{expression conjuguée}}}{(x-x_0)\times\underbrace{(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{25+x_0^2})}_{\text{expression conjuguée}}}}=\lim_{x\to x_0}\frac{\cancel{25}-x-\cancel{25}-x_0^2}{(x-x_0)(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{25+x_0^2})}

=\lim_{x\to x_0}-\frac{\cancel{(x-x_0)}(x+x_0)}{\cancel{(x-x_0)}(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{25+x_0^2})}=-\frac{\cancel{2}x_0}{\cancel{2}\sqrt{25-x_0^2}}=-\frac{x_0}{\sqrt{25-x_0^2}}

Cette limite ne sera finie que pour x_0\in]-5,5[.

En effet, \lim_{x\to \pm 5}(-\frac{x_0}{\sqrt{25-x_0^2}})=\pm\infty

\boxed{\red\text{Le domaine de dérivabilité de }f\text{ est donc }]-5,+5[}

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 28-12-14 à 14:45

* 5ème ligne

Donc la fonction f  est dérivable sur I=D_f si elle est dérivable en chaque point x_0\in D_f.

Posté par
Emeline26maths 29-12-14 à 13:46

Je vais surement vous paraitre bete mais je ne comprends pas pourquoi on utilise x0 et la formule:
lim  (f(x)-f(x0))/(x-x0)
xx0

Je n'ai jamais utiliser cette facon de faire, je connais juste (f(x+h)-f(x))/h , et limite quand h tend vers 0

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 29-12-14 à 14:54

Non, tu ne me paraît pas bête du tout.

C'est exactement la même dite "formule" en posant h=x_0-x

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 29-12-14 à 14:58

En faisant tendre x vers la valeur x_0, f(x) va aussi se rapprocher de f(x_0), et la droite bleue va "se tangenter" à la courbe.

Ce qu'il faut garder à l'esprit, c'est :

tan(\alpha)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

c'est "la pente".

fonction racine carrée

fonction racine carrée

Posté par
Emeline26re : fonction racine carrée 30-12-14 à 12:29

Daccord merci pour les explications
Résultats :
1) Df=[-5;5]  et domaine de derivabilite=]-5;5[

2) f'(x)=1/(2(25-x2))=1/(10(25-x2) |  0      +       0                 car a<0

4) f(-3)=4
f'(-3)=?
y=f'(-3)(x+3)+(-3)
y=...(x+3)+4

Desole ayant un souci avec mon ordi j'ai du utiliser une tablette alors je ne suis pas sur que tout ce soit correctement ecris

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 30-12-14 à 12:55

On n'y voit pas grand chose ..... mais ça n'a pas l'air d'être cela pour la 2

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 30-12-14 à 12:56

De toutes façons, tu dois pour ton calcul de dérivée retomber sur l'expression à l'intérieur de la limite ci-dessus à 14:44

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 30-12-14 à 12:58

A savoir :

f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{25-x^2}}

Posté par
Emeline26maths 30-12-14 à 16:22

ca y est je pense avoir trouvée la reponse a la question 2
(u)'=(u'(x))/2(u(x))    (ici je dois mettre (u)'=.... ou f'(x)=... ?
donc f'(x)= -2x/ (2(25-x2)) = -x/(25-x2)

3. tableau de variation:
x             | -5      0         5
-x            |     +   0     -
(25-x2) | 0       +        0
f'(x)         |  0  +   0     -    0
f(x)          | 0 fleche croissante 5 fleche decroissant 0

??

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 30-12-14 à 22:45

Je n'arrive pas à décrypter ton dernier message.

Posté par
Emeline26maths 31-12-14 à 13:00

Mince je disais que je pense avoir trouvé la reponse a la question 2 :

2.
(u)'= (u'(x))/(2(u(x))
donc f'(x)= -2x/(2(25-x2))

3. tableau de variation
image 1

4. a=-3
f(3)= 4
f'(-3)=3/4

y=f'(-3)(x+3)+f(-3)
y= 3/4(x+3)+4
y= 3/4x+9/4+4
y= 3/4x+25/4

5. image 2
je l'ai fais sur paint alors c'est tres mal fat :S

maths

maths

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 31-12-14 à 15:00

Pour la réponse à la question 2, inutile de garder le 2 au umérateur et dénominateur.

f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{25-x^2}}

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 31-12-14 à 15:04

Tu as fait une erreur (d'inatention je pense)

fonction racine carrée

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 31-12-14 à 15:08

Pour l'équation de ta tangente, c'est bon.

fonction racine carrée

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 31-12-14 à 15:12

As-tu fait la question 6 ?

Posté par
Emeline26maths 02-01-15 à 12:27

pour f'(x) oui je l'ai fait mais j'ai mal recopié :S

effectivement j'ai fait une erreur sur le graphique
super merci !
je viens de faire la 6:
f(4)=3
M(5;0)
O(0;0)
((xb-xa)2+(yb-ya)2)
donc OM=((5-0)2+(0-0)2))
OM=(25+0)
OM= 25
OM= 5

par contre pour: que peut on en déduire ? je ne sais pas ce qu'il faut dire

Posté par
Jedoniezhre : fonction racine carrée 02-01-15 à 17:22


Et bien que OM est égal à une constante, et donc que si OM est constante, tu as toute les chances d'avoir un M qui se tient toujours à la même distance de O, et ça, ça ressemble étrangement à tout ou partie d'un cercle ...

Posté par
valparaisore : fonction racine carrée 05-01-15 à 09:48

bonjour
j'aurais 1 question à Jedoniezh
je pensais l'avoir déjà postée mais je vois qu'elle n'apparait pas
dans ton post du 28.12 à 14.44 quand tu passes à l'écriture avec la quantité conjuguée, le numérateur de la fraction est bien 25-x²-25+x0²?
merci pour cette précision

Posté par
valparaisore : fonction racine carrée 05-01-15 à 09:57

et à la fin de ce post je ne comprends pas non plus pourquoi le (25-x0)² devient (25+x0)²
merci beaucoup

Posté par
malou Webmasterre : fonction racine carrée 05-01-15 à 10:16

bonjour valparaiso
oui, tu as raison, il manque bien un carré au numérateur

Posté par
malou Webmasterre : fonction racine carrée 05-01-15 à 10:28

et aussi des erreurs de signes , je pense que c'est :

\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{\sqrt{25-x^2}-\sqrt{25-x_0^2}}{x-x_0}=\frac{(\sqrt{25-x^2}-\sqrt{25-x_0^2})\times(\overbrace{\sqrt{25-x^2}+\sqrt{25-x_0^2})}^{\text{expression conjuguée}}}{(x-x_0)\times\underbrace{(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{25-x_0^2})}_{\text{expression conjuguée}}}}=\frac{\cancel{25}-x^2-\cancel{25}+x_0^2}{(x-x_0)(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{25-x_0^2})}

rq : ne pas démarrer la démonstration en écrivant limite....car cette notation ne s'écrit que quand on sait qu'on peut trouver la limite
donc on fait toutes les transformations nécessaires au préalable, et qd on voit qu'on peut trouver la limite, qu'elle n'est palus indéterminée, alors là, on cherche la limite

autres remarques :
à ce niveau de 1re S, je ne suis pas du tout sûre que la dérivabilité en -5 et en 5 étaient attendues vu l'énoncé
n'attendait-on pas définie sur [-5;5] et dérivable sur ]-5;5[ par application directe du cours
et
je pense que pour les élèves l'écriture [f(x+h)-f(x)]/h est peut être plus facile à maîtriser et plus habituelle à l'heure actuelle

sauf erreurs....


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