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fonction suite
on considère 2 réels quelconques p et q et la fonction f définie
sur R par
f(x) = x puissance 3 - px + q
j'ai calculer f'(x) = 3 x² - p
j'ai ensuite construit le tableau de variation de f lans les cas où p
> 0; p = 0; p<0
(je n'ai pas réussi à trouver les extremums)
Dans le cas ou f possède un minimum m et un maximum M comment calculer
le produit m.M ?
en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que la courbe
réprésentative de f coupe l'axe des abscisses en 3 points .
A partir du calcul de la dérivéé,
f'(x) = 3 x² - p = 3 (x²-p/3)
On discute suivant la valeur de p:
***Si p >= 0
On factorise : f'(x) = 3 (x- racine(p/3) ) * (x+ racine(p/3)
)
et on en déduit le signe de f'(x)
-infini - racine(p/3) ) racine(p/3)
) + infini
f'(x) | + |
- | + |
f(x) | croissante | décroissante | croissante
|
M= maximum
m=minimum
***Si p < 0
f'(x) > 0 et la fonction croît strictement.
- infini + infini
f(x) | croissante |
2°) Dans le cas où il existe m et M :
M = f(-racine(p/3)) = (- racine(p/3))^ 3 +p*racine(p/3) + q
= -p/3*racine(p/3) +p*racine(p/3) + q
= racine(p/3) * (-p/3 + p) + q
= racine(p/3) * (2p/3) + q
m = f(racine(p/3)) = ( racine(p/3))^ 3 -p*racine(p/3) + q
= p/3*racine(p/3) -p*racine(p/3) + q
= racine(p/3) * (p/3 - p) + q
= -racine(p/3) * (2p/3) + q
Donc :
m*M = [racine(p/3) * (2p/3) + q] * [-racine(p/3) * (2p/3) + q]
= q² - ((2p/3)*racine(p/3))² = q²-(4p²/9)*p/3
= q² - 4p^3/27
3°) f coupe l' axe des abscisses en 3 points ssi :
f(x) = 0 admet 3 solutions distinctes.
Donc : x^3 - px + q doit avoir 3 solutions distinctes.
**** Si p <0 ,
f est croissante strictement et ne risque pas de couper les abscisses
en 3 points distincts.
*** Si p >=0
f a les variations décrites en 2°)
Pour que f recoupe l' axe des abscisses 3 fois :
Il faut et il suffit que :
M >0
m<0
et donc que : M*m <0
Soit : q² - 4p^3/27 <0
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