Bonjour,

1) Si votre tableau de variation est correcte vous devez trouver que les deux fonctions f et g sont croissantes sur le domaine de définition indiqué!

3) d'après la question 2 ) f(x)-g(x) < 0  pour tout [-1/2; + [ on en déduit que Cf est en dessous de Cg sur cet intervalle .
4) indice1 : utilisez la question 2) ensuite calculer I f(x) - g(x)I - 2 x² = ?  ce calcul doit aboutir à un résultat négatif  
Indice 2:  pour trouver une  valeur approchée de 1,002 ,  on pose x=0.002 et on essaye d'utiliser l'inégalité démontrée auparavant!

J'ai revu ma question 3 et je suis bloqué pour faire mon tableau de signe, il faut que je décompose le résultat trouvé à la question 2 ? Mais comment ?

pas besoin de faire un tableau de signe ! si vous avez réussi à démontrer l'égalité de la question 2) il suffit de dire que x² 0 quelque soit x  dans donc -x² 0  qq soit x  dans
de plus il est évident que le dénominateur ( (1+ 2x) + (1+x) )est strictement  positif pour tout x du domaine de définition.

conclusion : le numérateur: ( -x² ) est négatif  , et le dénominateur:  ( (1+ 2x) + (1+x) ) est positif donc le quotient sera négatif  

d'où f(x)-g(x) 0  

Merci beaucoup, j'ai compris !
Et pour la question 4,  si je pars de ça : x ≥ -1/2 pour ensuite arriver à ça : -x^2/√1+2x   +1+x je ne retrouve pas 2x^2, c'est normal ?

partir de x -1/2  c'est pas le bon départ , le chemin le plus facile pour répondre à cette question   est tout simplement de calculer la différence  ou( le quotient , étant donné que les deux membres sont positifs )

par exemple pour démonter que A<  B ( ou A>B)  il suffit de calculer A-B , ensuite si A-B <0 on en déduit que A< B , si A-B > 0 alors A>B

ou bien de calculer A/B si ( A 0 et B > 0) et comparer le résultat à 1

si A/B < 1 alors A<B  ( si A/B >1 alors A>B)

le calcul du quotient s'avère plus simple ( il y aura moins de calcul)

il suffit de prendre A= 2x² 0 et B= I f(x)-g(x) I = x² / ......>0

je vous laisse finir les calculs

Mais comme il faut le démontrer, il ne faut pas partir du résultat si ?

non ! car le résultat recherché à la question 4  est donné sous forme d'inégalité (ou inéquation) et on ne part du  résultat, on utilise plutôt les techniques autorisées ( en calculant la  différence ou le quotient )  afin  de prouver l'exactitude d'une inégalité,  ou pas !

D'accord mais je n'ai toujours pas compris ce qu'il fallait faire désolé..

question 4) on veut démontrer l'inégalité suivante : l f(x) -g(x) l 2 x²

on calcul le quotient suivant 2x² / ( l f(x) -g(x) l )

d'après la question 2) l f(x) - g(x) l = l -x^2/ (√1+2x   +1+x)l =( x² / √1+2x   +1+x) .

donc : 2x² / ( l f(x) -g(x) l ) = 2x² / (( x² / √1+2x   +1+x)  )
                                                       =2x² .[( √1+2x   +1+x)/ x²]
                                                        =2 ( √1+2x   +1+x)

or x -1/2  donc 1+x   1+ (-1/2)
(1+x)   1/2  ( inégalité 1)

et   √1+2x   0 x ( inégalité 2)

on additionne  ces deux inégalités (1) et (2) membre à membre  on obtient :


( √1+2x   +1+x) 1/2
on multiplie chaque coté par 2 on obtient : 2 ( √1+2x   +1+x) 1
      
donc :  2x² / ( l f(x) -g(x) l ) 1

étant donné que ( l f(x) -g(x) l ) > 0 n va multiplie chaque coté par  ( l f(x) -g(x) l )

finalement on aboutit à 2x²  ( l f(x) -g(x) l )

ou  ( l f(x) -g(x) l ) 2x² ( ça revient au même)

et c'est ce que l'on cherchait à démontrer!

D'accord merci beaucoup !

De rien