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Fonctions de référence

Posté par
Charlottebt11
17-03-19 à 12:00

Bonjour, afin de m'entraîner à un devoir j'ai essayé de faire un exercice mais je n'y arrive pas du tout.
L'énoncé est:
f est la fonction définie sur ]0;+oo[ par:
f(x)= -x +2 -x^2 +1/ x.
Conjecturer le sens de variation de f.

En fait, je ne vois pas quelles sont les priorités, les variations de quelles références on doit utiliser en premier...

Je remercie d'avance qui voudra bien m'aider 😊

Posté par
sanantonio312
re : Fonctions de référence 17-03-19 à 12:04

Bonjour,
Il y a une fraction dont le dénominateur est x
Qu'y a-t-il au numérateur? Juste le 1?

Posté par
hekla
re : Fonctions de référence 17-03-19 à 12:10

Bonjour

 f =g+h+l

g(x)=-x+2 \quad h(x)=-x^2 \quad l(x)=\dfrac{1}{x}

 g est une fonction affine  où a <0 donc elle est \dots

h est l'opposé de la fonction carré  or on sait que sur \R_+ cette fonction est croissante donc

on connaît le sens de variation de la fonction inverse

d'où le sens de variation de f

Posté par
Charlottebt11
re : Fonctions de référence 17-03-19 à 13:35

sanantonio312 oui c'est cela.
hekla D'accord, donc même si un fonction n'est pas multiplié par ou divisé par une autre fonction mis seulement additionné à cette dernière, on peut les mettre en relation?

En reprenant ce raisonnement, je trouve:
Si x1<x2
•g est la fonction contraire donc elle est décroissante sur IR+
Donc -x1 +2 > -x2 +2
•h est l'opposé de la fonction carré, donc elle est décroissante sur IR+
Donc  -x1 +2 -x12 > -x2 +2 -x22
•l est la fonction inverse, donc elle est décroissante sur IR+
Donc -x1 +2 -x12 +1/x1 > -x2 +2 -x22 +1/x2

Donc f est décroissante sur IR+.

Mais imaginons par exemple que h soit la fonction carré simplement, on concluerait que la fonction est décroissante car g et l seraient en supériorité numérique?
Dans ce cas, comment fait-on quand il y a nombre égal de fonctions croissante et décroissante, par exemple lorsque f(x)= x2 + 1/x ?

Posté par
Charlottebt11
re : Fonctions de référence 17-03-19 à 13:36

*mais

Posté par
hekla
re : Fonctions de référence 17-03-19 à 13:58

cela marche que s'ils ont le même sens de variation sur le même intervalle


pour illustrer  vous considérez une fonction second degré  sur \R

 f(x) = ax^2+bx+c que l'on peut considérezr comme la somme de deux fonctions

g : x\mapsto ax^2 \quad h\mapsto bx+c

de ceci on ne peut rien déduire sauf sur un intervalle commun où les fonctions sont monotones

Posté par
hekla
re : Fonctions de référence 17-03-19 à 14:12

j'aurais plutôt écrit

0<x_1<x_2

-x_1>-x_2  

 \\ -x_1+2>-x_2 +2 compatibilité de la relation d'ordre  avec +

0<x_1<x_2 d'où x_1^2<x_2^2 et  -x_1^2>-x_2^2

par conséquent  -x_1+2-x_1^2>-x_2+2-x_2^2

on peut additionner des inégalités de même sens

0<x_1<x_2 d'où \dfrac{1}{x_1}>\dfrac{1}{x^2}

il en résulte

-x_1+2-x_1^2+\dfrac{1}{x_1}>-x_2+2-x_2^2+\dfrac{1}{x_2}

on a alors f(x_1)>f(x_2) la fonction est décroissante  sur \R_+^*


mais ceci on le fait une fois   et encore car cela finit dans le cours
après on dit que la somme de deux fonctions décroissantes (resp croissante) sur I est décroissante (resp croissante) sur I

Posté par
Charlottebt11
re : Fonctions de référence 17-03-19 à 14:44

hekla D'accord, c'est clair.
Donc il est impossible de faire une addition de fonction n'ayant pas le même sens sur une intervalle commune?

Posté par
hekla
re : Fonctions de référence 17-03-19 à 14:49

non on ne peut pas

  on ne sait pas additionner deux inégalités de sens contraire car tout est possible

Posté par
Charlottebt11
re : Fonctions de référence 17-03-19 à 20:48

hekla Ok, merci beaucoup j'ai compris!
Passez une excellente soirée!



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