Bonjour,
C'est un peu plus subtil que cela...
Ce qu'on sait c'est que si f est holomorphe sur un ouvert U et que deux chemins sont homotopes dans U alors l'intégrale de f le long de du premier est egale a l'intégrale le long du second.

Il faut donc faire attention attentions a la topologie de l'ouvert U. S'il a le type d'homotopie du point alors pas de problème ce que tu dis marche. Mais s'il est de genre 1 par exemple, comme une couronne alors tu peux tres bien avoir un lacet fermé dans la couronne une fonction holomorphe sur la couronne et pourtant son intégrale non nulle... C'est l'objet du théorème des residus.

Ici on doit montrer donc que le lacet est inclus dans un ouvert contractile (i.e) qui a le type d'homotopie du point. C'est assez evident visuellement.

Par contre il me semble que tu va avoir du mal a trouver un tel ouvert étoilé...Car f est meromorphe en zero...

Ah oui d'accord

Mais puis-je traiter cette question sans avoir fait le théorème des résidus ni sans savoir ce qu'est une fonction méromorphe ??
Car ce sont des mots inconnus pour moi et c'est l'objet du prochain chapitre que l'on va traiter.

Merci

Je suis bète en fait, bien sur que tu va pourvoir trouver un ouvert étoilé contenant ton ensemble, par exemple le plan privé du demi axe Re z=0 Im z<=0.

Quant au reste, on utilise pas ici le theorème des residus...je te disais juste ça pour illustrer le fait que ce que tu dis peut etre faux.

Re bonjour,
En fait, si je prends comme ouvert étoilé U, le plan est-ce que ça marche ?

Sinon ensuite si je note le demi cercle de centre 0 et de rayon R parcouru dans le sens trigonométrique, comment se fait-il que limf(z)dz le long de , quand R tend vers + soit nulle ?

(je ne comprends pas trop cette partie du cours...)

Bonjour

Non, tu n'as pas le droit de prendre C tout entier, parceque ta fonction n'est pas définie en 0. C'est l'idée de Rodrigo qui est la meilleure, prends le plan privé de l'axe imaginaire négatif.

Pour montrer que la limite sur tend vers 0, tu majores le module de la fonction à intégrer et tu multiplies par la longueur du demi-cercle.

Merci !

Et en fait il y a quelque chose que je ne comprends pas : pour montrer que f est holomorphe sur U, on fait bien les mêmes calculs que pour montrer qu'elle est holomorphe sur non ? (enfin dans ce cas elle n'est pas définie sur mais si on prend une fonction qui est définie sur par exemple).
Alors en fait je ne comprends pas ce que ça change de prouver qu'une fonction est holomorphe sur U ou sur ?

Est-ce que c'est normal que ç_a me prenne deux pages de montrer que f est bien holomorphe ??

svp personne ne peut m'aider ?

Bon deja c'est evident que ta fonction est holomorphe sur C privé de l'origine cela resulte de resultats généraux du style le produit, la somme ... de fonctions holomorphes sont holomorphes.

Ensuite il y a une différence entre etre holomorphe sur C et l'etre sur un ouvert U. si ta fonction est definie sur U alors elle est holomorphe sur U et pas sur C tout entier...

Pour montrer que ta limite est nulle casse l'intégrale de fdz le long du lacet du debut en 4 morceaux (cette intégrale est nulle), celui qui' t'interesse est donc égale a l'opposé de la somme des trois autres.

Pour la limite sur le demicercle .



Or

et là tu dois discuter selon que a 0 ou a < 0.