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Fonctions, limite et asymptote
Bonjour, je suis complétement bloqué sur un exercice. L'énoncé est le suivant:
Soit h la fonction définie par h(x)=x/4+1/x², C sa courbe représentative et D la droite d'équation y=x/4.
a)Etudier la fonction h, dresser son tableau de variation et préciser la tangente à C au point d'abscisse 2.
b) Montrer que D est asymptote de C.
c)Représenter C et D sur un même graphique (unité 2 cm).
Pour la question 1, j'ai fait la dérivée de la fonction, or je ne suis pas sûre de cette dernière. J'ai trouvé : (4x^4 + 32x) / (16x^4) Est-ce cela ?
Merci d'avance aux personnes qui pourront m'aider.
bonsoir
a) h est définie sur R*
h est continue dérivable sur R*
limh(x)=+oo en +oo et limh(x)=-oo en -oo
donc h admet une branche infinie en +oo et en -oo
limh(x)(en0+)=1/0+=+oo en 0+ et en 0-
donc x=0 est une assymptote à Ch au voisinage de 0
h'(x)=1/4-2/x^3=(x^3-8)/4x^3=(x-2)(x²+2x+4)/4x^3=(x-2)((x+1)²+3)/4x^3
donc h' est du signe de (x-2)/x
h'(x)=0 ssi x=2 et h(2)=1/2+1/4=3/4
h'(x)>0 ssi x€]-oo;0[U]2;+oo[ et h est strictement croissante sur ]-oo;0[U]2;+oo[
h'(x)<0 ssi x€]0;2[ et h est strictement décroissante sur ]0;2[
la tangente au point d'abscisse 2 est horizontale car h'(2)=0
b) lim(h(x)-x/4)=lim(1/x²)=0 en +oo et en -oo donc D est assymptote à Ch aux voisinages de +oo et -oo
c)à toi de représenter C et D tu as tout.
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