Bonjour Jordan

Je suppose que ta fonction s'écrit plutôt
f(x) = (2x - 3)/(x - 2) non ?

- Question 1 -
(2x - 3)/(x - 2) n'existe pas
si et seulement si x - 2 = 0
si et seulement si x = 2

D'où :
D = \{2}



Pour tout x réel différent de 2, on a :
3 + 1/(x - 2) = [3(x - 2) + 1]/(x - 2)
= (3x - 6 + 1)/(x - 2)
= (3x - 5)/(x - 2)

Et ce n'est pas égal à f(x).
Il y a donc un problème quelque part, vérifie ton énoncé, merci

Bonjour quand même,

Il y a deux fonctions f différentes dans ton énoncé...

1) Pour les deux définitions de f(x), f(x) existe si x-2 différent
de 0 c'est-à-dire si x différent de 2.
Donc le domaine de définition est l'ensemble des réels privé de 2
soit R - {2}.

A suivre... (quand tu auras précisé ton énoncé).

Je viens de comprendre en voyant le message d'Océane :

f(x)=(2x-3)/(x-2)
f(x)=(2x-4+1)/(x-2)
f(x)=2(x-2)/(x-2)+1/(x-2)
f(x)=2+1/(x-2)

Il y a donc effectivement une erreur dans ton énoncé (c'est un
2 au lieu d'un 3).

Cette erreur ne change pas pour la dérivée :

2) f'(x)=-1/(x-2)² (car la dérivée de 2 est 0 et la dérivée de
1/u est u'/u²).

3) f'(x) < 0 sur l'ensemble de définition car (x-2)² > 0.
Donc f est strictement décroissante sur ]-infini;2[ et sur ]2;+infini[.

4)a)
Limite en +infini :
lim (x-2)=+infini
lim 1/(x-2)=0
lim f(x)=2

Limite en -infini :
lim (x-2)=-infini
lim 1/(x-2)=0
lim f(x)=2

Il y a donc une asymptote horizontale d'équation y=2.


f(x)-2=1/(x-2)
Donc si x > 2, f(x)-2 > 0 donc la courbe est au-dessus de son asymptote.
Si x < 2, la courbe est en dessous de son asymptote.

b) Quand x tend vers 2 et x > 2.
lim (x-2)=0 (par valeurs positives)
lim 1/(x-2)=+infini.
lim f(x)=+infini.

Donc la droite d'équation x=2 est une asymptote verticale.

@+

merci bcp à tous