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Fonctions trinômes et variation

Posté par
blablablabl
18-10-12 à 18:57

Bonjour,

j'ai un exercice avec lequel j'ai du mal... Si on pouvait m'aider ce serait sympa !

f et g sont deux fonctions pôlynômes définies sur R par f(x)= -x^3+4x  et g(x)= -x²+4x avec pour courbe sur graphique:

***

1) Associe chaque fonction à sa courbe et justifier. Pour le justifier faut-il que je remplace x par les coordonées de la lecture graphique ?

3) compare les réels f(x) et f(-x) pour x n'importe quel réel et deduis en une propriété géométrique d'une des deux courbes. Je sais que pour 2 ou -2 la fonction est égale à zéro mais je vois pas la propriété géométrique...

C'est juste les questions là que je bloque... Je vous remercie d'avance.
édit Océane : liens cassés

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 19:30

personne...?

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 19:39

Bonsoir.

1.  Pour la justification, on peut voir que l'une des deux courbes s'annulent 3 fois : en -2, 0 et 2.

Par exemple, est-ce que g(2) = 0 ?

Autre remarque. Un polynôme de degré n peut avoir jusqu'à n racines.
Par contre, un polynôme de degré n ne peut avoir jusqu'à n + 1 racines.

Traduction. -x^3 + 4x est de degré 3, il peut avoir 3 racines.
-x^2 + 4x est de degré 2, il aura au maximum 2 racines.


2.  Lorsqu'il est demandé de comparer pour n'importe quel réel, ce n'est pas avec un réel particulier.

Que vaut f(x) ?   f(-x) ?   f(x) - f(-x) ?

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 19:41

Plutôt, que vaut f(x) + f(-x) ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 19:48

pour g(2)=4. Merci pour la justification avec les racines, je comprends maintenant.

je ne peux pas me servir d'un réel précis?  
...
la propriété géométrique me fait patauger...

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 19:57

Eh bien. « Un réel précis » signifie « un réel particulier »

et non plus, « un réel quelconque » = « n'importe quel réel ».

Tu conviendras que  :

\text{C'est vrai pour un réel quelconque}  \Longrightarrow  \text{C'est vrai pour un réel particulier}  \text{VRAI},

par contre la réciproque est fausse. On n'a pas :

\text{C'est vrai pour un réel particulier}  \Longrightarrow  \text{C'est vrai pour un réel quelconque}  \text{FAUX}

Si tu souhaites un exemple, je peux t'en donner.


Il s'agit plutôt pour l'instant d'une constatation géométrique, qu'on a admis en seconde. Que vaut f(x) + f(-x) quelque soit le réel x ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 20:23

désole j'étais aller manger.

je veux bien un exemple

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 20:38

• Considérons l'équation suivante : x = x.

La réponse est évidente. C'est vrai pour un x quelconque : (\Longrightarrow)  \text{DONC} elle est vraie pour un x en particulier. Exemple : 2, 3 ...

On a bien : 2 = 2  ou encore  3 = 3.


• Considérons l'équation suivante : x^2 = 4.

Il n'y a que 2 valeurs particulières pour lesquelles on a cette égalité : -2 et +2.

Est-ce parce que c'est vrai pour des valeurs particulières que c'est (\Longrightarrow)  \text{DONC} vrai une valeur quelconque ? C'est évidemment faux. Exemple : 5, 6...

On n'a pas : 5^2 = 4  ou encore  6^2 = 4.


Tout ça pour dire que, lorsqu'on te demande \text{pour un x quelconque}, tu ne peux choisir un x en particulier.



Bref, que vaut f(x) ?   f(-x) ?  
f(x) + f(-x) ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 20:44

je sais pas ... un intervalle? je galère ... il semble que f(x) et f(-x) sont opposés ... je suis désolé je vous aide pas trop

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 20:56

La difficulté est peut-être parce qu'on travaille avec quelque chose... d'« abstrait ».

Citation :
il semble que f(x) et f(-x) sont opposés ...


Tout juste. Remarque une chose. On prend le graphique de f. Si on "coupait" en deux le graphique, serait-il possible à partir de la moitié du graphique, d'avoir tout le graphique ?

Je vais poser mes questions précédentes autrement.

Quel est l'\text{expression} de f(x) ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:03

Je pense qu'il est possible. Si on connait la moitié de la courbe alors on connait l'autre. mais cela dépend du type de courbe?

je comprends toujours pas comment exprimer f(x)...

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:05

D'autre part, comment appelle-t-on un truc qui est semblable à droite et à gauche d'une droite ? Par exemple.

\red{<}   |  \blue{>}

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:06

Relis ton énoncé voyons !

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:07

Citation :
mais cela dépend du type de courbe?


Oui. Et c'est ce qu'on essaye de te faire dire sur f, qu'elle est caractérisée par ...

Car toute courbe d'une fonction n'est pas nécessairement...

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:09

tableau de variations?

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:10

Non.

D'autre part, tu as écrit dans ton premier post.

Citation :
f et g sont deux fonctions pôlynômes définies sur R par f(x)= -x^3+4x  et g(x)= -x²+4x


Que vaut alors f(-x) ? La somme de f(x) et f(-x) ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:13

un pôlynome a toujours une parabole pour courbe. la somme vaut 8x ?

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:20

Non. Un polynôme n'a pas toujours une parabole pour courbe.

Allons... un peu de sérieux.

Tu as toi-même écrit que f(x) = -x^3 + 4x.

A quoi est égale f(-x) ? Il s'agit simplement de remplacer dans l'expression de f par -x...

Si je te demande que vaut f(1) ?   f(-1) ?

À présent, fais comme-ci ce "1" était "x"...

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:24

f(-x) = -(-x)^3+4*(-x)
       x^3 - 4x

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:26

Et que vaut -f(-x) ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:31

Je suis désolé mais -f je sais pas... j'ai jamais vu ça..

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:32

f(-x) = x^3 - 4x

-f(-x) = -1\times f(-x) = -1\times(x^3 - 4x)... ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:34

-x^3 + 4x

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:36

Et -x^3 + 4x. À quoi est-ce égale ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:37

à f(x)

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:39

Finalement, à quoi est égale -f(-x) = ... ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:41

à -x^3 + 4x donc f(x)

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:44

Donc.

-f(-x) = f(x) ou encore

f(-x) = -f(x).

Ton idée de "f(x) et f(-x) opposés" est à présent justifiée.


Msg 21:05. D'autre part, comment appelle-t-on un truc qui est semblable à droite et à gauche d'une droite ? Par exemple.

\red{<}   |  \blue{>}

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:49

ah, une symétrie

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:51

Tout à fait...

Finalement, quel propriété géométrique de la courbe de f as-tu ?

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 21:53

que la courbe est symétrique, c'est pour cela que si on connait la moitié on a l'autre

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 22:03

Oui.

Rappel de seconde.

•  Si f(-x) = -f(x), on dit que f est impaire : sa courbe est symétrique \text{par rapport à l'origine du repère}.

Exemple. f(x) = x.

f(-x) = -x = - f(x). Conclusion f est impaire.

Il te suffit de connaître comment est sa courbe pour x > 0, tu peux avoir alors sa courbe lorsque x < 0.



• Si f(-x) = f(x), on dit que f est paire : sa courbe est symétrique \text{par rapport à l'axe des ordonnées}.

Exemple. f(x) = x^2.

f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x). Conclusion f est paire.

Il te suffit de connaître comment est sa courbe pour x > 0, tu peux avoir alors sa courbe lorsque x < 0.




Attention, toute courbe n'est pas nécessairement paire ou impaire. Elle peut être aucune des deux.

Posté par
blablablabl
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 22:07

c'est bizarre que ça ne me dise rien du tout... c'est l'occasion de revérifier ça.
Je vous dit un grand merci pour votre aide et patience.

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 22:11

De rien .

Posté par
fred1992
re : Fonctions trinômes et variation 18-10-12 à 22:25

Autre remarque.

Plutôt que de te balancer ça tout simplement. Traduisons un peu ça.


f(-x) = f(x). Attention, c'est du français...

« L'image par f du nombre -x, c'est exactement la même image par f que celle du nombre x. » Ce qui se traduit par l'égalité juste en haut.


f(-x) = -f(x).

« L'image par f du nombre -x, c'est exactement l'opposé de l'image par f du nombre x ». D'où l'égalité plus haut.



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