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Fontions trigonométriques

Posté par
esther26 14-02-10 à 12:03

Bonjour,

Je cherchais le nombre dérivé en a de la fonction cosinus et je suis tombée sur la démonstration suivante:

***

(excusez moi, il faut copier coller ce lien, je ne sais pas créer un lien avec la petite maison!)

Pouvez vous m'expliquer en détail le développement car je ne comprend pas déjà comment ils passent de la 1ere à la 2è ligne! J'ai compris le fait qu'il utilisent le taux d'accroissement puis sa limite pour trouver le nombre dérivé mais je ne comprend pas les théoremes utilisés pour simplifier la forme de départ.

Merci infiniment d'avoir pris le temps de me lire,
Dans l'attente d'une réponse positive de votre part.

Bien à vous.

édit Océane : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 12:07

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 12:10

Bonjour,
La formule utilisée est une formule trigonométrique qui n'est plus étudiée en 1ère, à ma connaissance.
Il s'agit de
cos\,p\,-\,cos\,q\,=\,-2\,sin(\frac{p+q}{2})\,sin(\frac{p-q}{2})
Formule que je peux te démontrer, si ça t'intéresse...

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 12:16

Merci de votre intervention,

Je me disais bien que je n'avais  jamais rencontré ce genre de simplification!! Oui, si vous me le proposez je serais interessée par la démonstration de cette formule, mais je voudrais savoir tout d'abord comment pourrais-je grâce a la formule du taux d'accroissement trouver le nombre dérivé de cosinus en a avec mes moyens de première car souvent je rencontre le théoreme des gendarmes mais je ne l'ai jamais vu en cours? (je sais que lim sinx/x=1)
                      x->0

Merci beaucoup de m'éclairer,

Bien à vous.

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 12:28

Tu connais cos(a + b), je suppose ?

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 12:31

oui, on l'a vue en cours

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 12:44

Sinon j'ai vu cette démonstration ci que je ne comprend pas!

(cos\,x)'=\left[sin\,(x+\frac{\pi}{2})\right]'=cos\,(x+\frac{\pi}{2})

Merci de m'éclairer!

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 12:45

http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?(cos\,x)%27=\left[sin\,(x+\frac{\pi}{2})\right]%27=cos\,(x+\frac{\pi}{2})

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 12:52

?????????????

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 12:56

On part de la formule de base de la dérivée
3$lim_{h\rightarrow 0}\,\frac{cos(a+h)\,-\,cos\,a}{h}

En appliquant cos(a+b)
3$=\,lim_{h\rightarrow 0}\,\frac{cos\,a\,cos\,h\,-\,sin\,a\,sin\,h\,-\,cos\,a}{h}

3$=\,lim_{h\rightarrow 0}\,\frac{cos\,a\,(cos\,h-1)\,-\,sin\,a\,sin\,h}{h}

Si h0, cos h 1

3$=\,lim_{h\rightarrow 0}\,\frac{-\,sin\,a\,sin\,h}{h}\,=\,lim_{h\rightarrow 0}\,(-\,sin\,a\,\frac{sin\,h}{h})

Si h0,  \frac{sin\,h}{h}\rightarrow 1

Donc :
3$lim_{h\rightarrow 0}\,\frac{cos(a+h)\,-\,cos\,a}{h}\,=\,-\,sin\,a

Si cette démonstartion te convient, je te démontre l'autre formule...

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:02

3$(cos\,x)'=\left[sin\,(x+\frac{\pi}{2})\right]'=cos\,(x+\frac{\pi}{2})\,=\,-sin\,x

Cela fait appel à des relations trigonométriques qu'on voit encore en 1ère (peut-être en seconde mais je ne crois pas...) entre les sinus et cosinus des angles x et x+\frac{\pi}{2} (il y a aussi les angles supplémentaires et  \frac{\pi}{2}-x)

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:05

Merci beaucoup de ta démonstration mais comment fait ton pour h different de O??

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:15

La dérivée se calcule toujours pour h0. C'est la définition de la dérivée...
Quand on fait tendre h vers 0, on obtient la dérivée en x = a.
A la place de a, on peut mettre x.


On a la relation  3$ cos\,x\,=\,sin\,(x+\frac{\pi}{2})
Donc :
3$(cos\,x)^'\,=\left[sin\,(x+\frac{\pi}{2})\right]^'
La dérivée de  sin\,(x+\frac{\pi}{2}) est  cos\,(x+\frac{\pi}{2})
donc :
3$(cos\,x)^'\,=\,cos\,(x+\frac{\pi}{2})
Et on a la relation :
3$cos\,(x+\frac{\pi}{2})\,=\,-sin\,x
donc :
3$(cos\,x)^'\,=\,-sin\,x

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:23

Pour l'autre formule
On a :
cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b
On soustrait ces deux relations :
cos(a+b) - cos(a-b) = -2 sin a sin b  (1)
On pose :
p = a + b  et  q = a - b
Donc :
3$ a\,=\,\frac{p+q}{2}
3$ b\,=\,\frac{p-q}{2}
D'où, en remplaçant dans la relation (1) :
cos\,p\,-\,cos\,q\,=\,-2\,sin(\frac{p+q}{2})\,sin(\frac{p+-q}{2})

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:24

On peut démontrer de la même façon :
cos p + cos q
sin p + sin q
sin p - sin q

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:28

Petite erreur sur la dernière ligne...
"cos\,p\,-\,cos\,q\,=\,-2\,sin(\frac{p+q}{2})\,sin(\frac{p+-q}{2})" ==> cos\,p\,-\,cos\,q\,=\,-2\,sin(\frac{p+q}{2})\,sin(\frac{p-q}{2})

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:36

Merci beaucoup de votre investissement Marc,

Mais dans un exercice on me demande de faire la démonstration pour h différent de 0 et d'obtenir à la fin

t(xo)= cos xo (cos(h-1)/h)- sin xo (sin h/ h) puis d'en déduire que la fonction cosinus est dérivable en xo et enfin trouver son nombre dérivé.

Merci de votre aide.

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:52

?????

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:53

???????????

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 13:58

N'y aurait-il pas une petite erreur dans la formule ?
Ne serait-ce pas :
t(xo)= cos xo ((cos h-1)/h)- sin xo (sin h/ h)  ?

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:01

Oui c'est tout à fait cela, j'ai surement du faire une erreur de frappe.

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:02

D'où vient t(x0) ?
Il est donné directement sous cette forme au début de l'exercice ?

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:05

Non, t(xo) est le taux d'accroissement de la fonction cos en xo avec xo un reel fixé dans R et h un reel différent de 0

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:06

On demande de montrer qu'il peut être écrit sous cette forme, jusque la j'ai réussi mais ensuite comment montrer qu'il est dérivable et trouver son nombre dérivé schant que je ne suis pas censée savoir que lim(h->0)(1-cosx/x)=0?

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:09

Alors, c'est exactement la démonstration que j'ai faite... avec x0 à la place de a
à partir de la 3ème ligne
t(xo)= cos xo ((cos h-1)/h)- sin xo (sin h/ h)
3$ t(x_0)\,=\,cos\,x_0\,\frac{(cos\,h\,-\,1)}{h}\,-\,sin\,x_0\,\frac{sin\,h}{h}

3$ t(x_0)\,=\,cos\,x_0\,\frac{(cos\,h\,-\,1)}{h}\,-\,sin\,x_0\,\frac{sin\,h}{h}

3$ t(x_0)\,=\,\frac{cos\,x_0\,(cos\,h\,-\,1)\,-\,sin\,x_0\,sin\,h}{h}

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:17

J'en convient mais comment montrer que

lim(h->0) (cosh-1)/h=0?

Voici ce que j'ai fait:

(cosh-1)/h= - (1-cosh)/h

Sauf que je ne suis pas censee savoir que lim(h->0) (1-cosh)/h=0: comment le démontrer car c'est une forme indeterminée?

Merci

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:21

parce qu'il ne faut pas le faire comme ça...
Quand  h0, cos h 1
Donc :
3$\,t(x_0)\,=\,\frac{cos\,x_0\,(cos\,h\,-\,1)\,-\,sin\,x_0\,sin\,h}{h}
Si h0, cos h - 1 0
Donc il reste :
3$\,t(x_0)\,=\,\frac{-\,sin\,x_0\,sin\,h}{h}

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:28

Okk merci beaucoup Marc d'avoir investi de votre temps et de m'avoir prêté votre précieuse aide. Ce genre de démonstrations m'interessent beaucoup et vu qu'on aura au bac un ROC (reconstitution organisée de connaissances) je serais très interéssée si vous pouviez me conseiller sur le nom d'un livre qui reprend des démonstrations de mathématiques de cours et même plus avancées que le programme de première et terminale.

Merci encore de votre soutient.

Bien à vous.

Posté par
Marc35re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:42

Pour les livres, je ne suis pas très compétent parce que, n'étant pas prof de maths, je connais très mal les livres existants .

Posté par
esther26re : Fontions trigonométriques 14-02-10 à 14:44

Aucun soucis=)

Bonne journée!


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