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Formes canoniques

Posté par
elisa1045 24-09-17 à 09:57

J'ai un exercice sur les formes canoniques mais,le problème c'est que j'ai du mal a résoudre celle-ci... Y aurait-il quelqu'un pour m'aider? merci d'avance

Soit la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=(x+1)²-3x²+4x-5

a- Donner la forme canonique de f puis le tableau de variation de f et les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f.

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 10:05

Bonjour à toi aussi.

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 10:06

Sais-tu ce qu'est la forme canonique ?

Posté par
elisa1045re : Formes canoniques 24-09-17 à 10:33

Bonjour, et je sais que dans forme canonique il y a le trînome du 2nd degré et je sais aussi que toute fonction du 2nd degré f(x)=ax²+bx+c peut se mettre sous la forme canonique f(x) = a(x-a)²+B et qu'on factorise par a0.
Après, bien sûre si vous avez une définition plus compréhensible je ne ne dirais pas non

Posté par
elisa1045re : Formes canoniques 24-09-17 à 10:37

Jedoniezh @ 24-09-2017 à 10:06

Sais-tu ce qu'est la forme canonique ?

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 10:38

La forme canonique d'un polynôme du second degré f(x)=ax^2+bx+c est tou t simplement la forme suivante :

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

Posté par
elisa1045re : Formes canoniques 24-09-17 à 10:48

Jedoniezh @ 24-09-2017 à 10:38

La forme canonique d'un polynôme du second degré f(x)=ax^2+bx+c est tou t simplement la forme suivante :

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

effectivement c'est plus simple merci beaucoup
Mais sinon est-ce que vous pouvez  m'aider ou au moins m'expliquer l'exercice en question?  (je sais que ce que je vais vous dire vous importe peu mais cela fait  environ 2h que je bloque sur cette question (là je suis sûre que vous vous moquez de moi mais bon) je poste rarement des question sur les forums, si c'est le cas c'est que je suis vraiment désespéré et c'est le cas en ce moment même)

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 10:52

Citation :
je sais que ce que je vais vous dire vous importe peu

Au contraire.

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 10:53

Citation :
à je suis sûre que vous vous moquez de moi mais bon)

Pas du tout.

Citation :
je poste rarement des question sur les forums, si c'est le cas c'est que je suis vraiment désespéré et c'est le cas en ce moment même)

C'est une preuve de maturité que de demander de l'aide quand on sent qu'on en a besoin.

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 10:54

f(x)=(x+1)²-3x²+4x-5

a- Donner la forme canonique de f puis le tableau de variation de f et les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f.

A mon avis, commence par développer ton expression.

Posté par
elisa1045re : Formes canoniques 24-09-17 à 11:11

Jedoniezh @ 24-09-2017 à 10:54

f(x)=(x+1)²-3x²+4x-5

a- Donner la forme canonique de f puis le tableau de variation de f et les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f.

A mon avis, commence par développer ton expression.


est ce que pour (x-1)² il faut utilisé les identités remarquables? parce que c'est ce que j'ai fait.
enfaite voici le calcul que j'ai fait au départ

f(x)= (x+1)²-3x²+4x+5
       =x²+2x+1²-1²+1 -3(x²+4x+5)
       =(x+1²) -3(x²+4x+5)
       = (x+1²)-3(x²+4/3x -5/3)
       = (x+1²)-3(x²+1.3/2x+1.3/4 -1.3/4 -5/3)
       =(x+1²)-3[(x+1.3/2)² -7.97)
        =(x+1²)-3(x+1.3/2)²-23.91

Et c'est a ce  moment la que je me dis que c'est impossible d'avoir un tel résultat vous voyez?

Posté par
elisa1045re : Formes canoniques 24-09-17 à 11:18

elisa1045 @ 24-09-2017 à 11:11

Jedoniezh @ 24-09-2017 à 10:54

f(x)=(x+1)²-3x²+4x-5

a- Donner la forme canonique de f puis le tableau de variation de f et les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f.

A mon avis, commence par développer ton expression.


est ce que pour (x-1)² il faut utilisé les identités remarquables? parce que c'est ce que j'ai fait.
enfaite voici le calcul que j'ai fait au départ

f(x)= (x+1)²-3x²+4x+5
       =x²+2x+1²-1²+1 -3(x²+4x+5)
       =(x+1²) -3(x²+4x+5)
       = (x+1²)-3(x²+4/3x -5/3)
       = (x+1²)-3(x²+1.3/2x+1.3/4 -1.3/4 -5/3)
       =(x+1²)-3[(x+1.3/2)² -7.97)
        =(x+1²)-3(x+1.3/2)²-23.91

Et c'est a ce  moment la que je me dis que c'est impossible d'avoir un tel résultat vous voyez?



desolé faute de frappe j'ai mis au trois premières ligne du calcul +5 alors que c'est -5

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 11:24

Ce n'est pas un développement que tu nous a fait là.

Tu développes tout, tu additionnes les éléments entre eux, et ensuite tu "ranges" les x en fonction de leur puissance décroissante.

Posté par
elisa1045re : Formes canoniques 24-09-17 à 11:28

Jedoniezh @ 24-09-2017 à 11:24

Ce n'est pas un développement que tu nous a fait là.

Tu développes tout, tu additionnes les éléments entre eux, et ensuite tu "ranges" les x en fonction de leur puissance décroissante.


aaaah d'accord donc en quelque sorte sa ferais (hypothèse après avoir utilisé les identités remarquables pour (x+1)²)
  
x²+2x+1-3x²+4x-5
=-2x²+6x-4

Est ce que c'est sa ou pas?

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 11:35

Je n'ai pas vérifié ton calcul mais à présent il faut mettre cela :
f(x)=-2x²+6x-4

sous cette forme là :
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

Posté par
elisa1045re : Formes canoniques 24-09-17 à 11:44

Jedoniezh @ 24-09-2017 à 11:35

Je n'ai pas vérifié ton calcul mais à présent il faut mettre cela :
f(x)=-2x²+6x-4

sous cette forme là :
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta


Donc du coup cela fait :
-2x²+6x+6
-2(x²+6x+6)
-2(x²+3x+3x)
-2(x²+3x+6/4-6/4+3)
-2[(x+3)²+10.5)
= -2(x+3)²-21

Posté par
elisa1045re : Formes canoniques 24-09-17 à 11:46

elisa1045 @ 24-09-2017 à 11:44

Jedoniezh @ 24-09-2017 à 11:35

Je n'ai pas vérifié ton calcul mais à présent il faut mettre cela :
f(x)=-2x²+6x-4

sous cette forme là :
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta


Donc du coup cela fait :
-2x²+6x+6
-2(x²+6x+6)
-2(x²+3x+3x)
-2(x²+3x+6/4-6/4+3)
-2[(x+3)²+10.5)
= -2(x+3)²-21


désolé je me suis encore trompé c'est pas +6 mais -4

Posté par
elisa1045re : Formes canoniques 24-09-17 à 11:54

Jedoniezh @ 24-09-2017 à 11:35

Je n'ai pas vérifié ton calcul mais à présent il faut mettre cela :
f(x)=-2x²+6x-4

sous cette forme là :
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta


Eh bien du coup je vous remercie beaucoup pour votre aide grâce à vous j'ai pus comprendre mon exercice  et je vais pouvoir le terminer
Franchement, j'aurais aimé avoir un professeur de math tel que vous

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 14:28


Pour bien "fixer les choses", je te mets ici une petite parenthèse qu'il te serait bon de lire, de refaire pour ton prochain DS, car ces notions tomberont très certainement en interrogation :

Une fonction polynomiale du second degré s'écrit sous cette forme :

f(x)=ax^2+bx+c

et l'on a :

f(x)=ax^2+bx+c \\ \\=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\ \\=a(x^2+2\times \frac{b}{2a}x)+c \\ \\=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c \\ \\=a(x+\frac{b}{2a})^2-\cancel{a}\times \frac{b^2}{4a^{\cancel{2}}}+c \\ \\=a(x-\underbrace{(-\frac{b}{2a})}_{=\alpha})^2+(\underbrace{c-\frac{b^2}{4a}}_{=\beta}) \\ \\=a(x-\alpha)^2+\beta

L'extremum S de ta parabole est tel que S a pour coordonnées : S(\alpha,\beta)

. si a>0, (a positif, soyons positif (imagine la forme des lèvres quand on sourit, alors soyons positifs) alors sourions , la courbe est tournée vers le haut : courbe bleue ci-dessous), ton extremum S est donc un minimum (la valeur minimale que f(x) peut atteindre)

. si a<0, (a négatif, nous sommes négatifs, tristes (imagine la forme des lèvres quand on est triste) ,  la courbe est tournée vers le bas : courbe verte ci-dessous) , ton extremum S est donc un maximum (la valeur maximale que f(x) peut atteindre)

Exemple :

f(x)=-3x^2-12x-7

Tu as a=-3<0, négatif (triste ), ta courbe sera donc tournée vers le bas, tu auras donc un maximum pour S

f(x)=-3(x^2+4x)-7=-3(x^2+2\times 2x)-7=-3[(x+2)^2-2^2]-7=3(x+2)^2+12-7=-3\left( x-\underbrace{(-2)}_{\alpha=-2}\right)^2+ \underbrace{\left(5\right)}_{\beta=5}\textcolor{blue}{=a(x-\alpha)^2+\beta}

Formes canoniques

Formes canoniques

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 14:51

Donc pour ton affaire , 1ere chose : développement.

f(x)=(x+1)²-3x²+4x-5 =x^2+2x+1-3x^2+4x-5=-2x^2+6x-4


2nd chose : forme canonique.


f(x)=-2x^2+6x-4=-2(x^2-3x+2)=-2\left[ x^2-(2\times\dfrac{3}{2}x)+2 \right] \\\\=-2\left[ (x-\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{3}{2})^2+2 \right] \\\\=-2\left[ (x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{9}{4}+2 \right] \\\\=-2\left[ (x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{1}{4} \right] \\\\=-2(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{1}{2}

Posté par
Jedoniezhre : Formes canoniques 24-09-17 à 14:53

Avec la figure.

Formes canoniques


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