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Formule explicite d'une suite

Posté par
alexhdmt
18-05-23 à 09:48

Bonjour,
"S est la suite définie par S0=0 et pour tout nombre entier naturel n, Sn+1= Sn+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}.
1.a) Calculer S1,S2,S3.
b) Déterminer le sens de variation de la suite S.
c) Conjecturer la limite de la suite S.
2. Pour tout nombre entier naturel n, calculer S0+S1+...Sn et en déduire que Sn= 1-\frac{1}{n+1}."

Je ne vois pas comment m'y prendre pour la question 2.
Voilà ce que j'ai essayé en vain:
S0+S0+ \frac{1}{0+1}-\frac{1}{0+2}+...+Sn-1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} (Je ne vois pas où aller avec ça)
Sinon j'ai aussi fait cette somme en substituant Sn par Sn+1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}

Dans les cas, j'ai l'impression d'être dans une impasse.

Posté par
carpediem
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 09:59

salut

S_0 = 0
 \\ S_1 = S_0 + \dfrac 1 {0 + 1} - \dfrac 1 {0 + 2}
 \\ S_2 = S_1 + \dfrac 1 {1 + 1} - \dfrac 1 {1 + 2}
 \\ S_3 = S_2 + \dfrac 1 {2 + 1} - \dfrac 1 {2 + 2}
 \\ ...
 \\ S_{n - 1} = S_{n - 2} + \dfrac 1 {n - 2 + 1} - \dfrac 1 {n - 2 + 2}
 \\ S_n = S_{n - 1} + \dfrac 1 {n - 1 + 1} - \dfrac 1 {n - 1 + 2}

et on additionne ces n + 1 égalités

et si tu ne vois pas comment ça se simplifie alors écris encore les égalités avec S_4 et S_{n - 2} ...

Posté par
carpediem
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 10:00

mais si tu as fait la question 1/ ça ne devrait pas poser de pb ....

Posté par
alexhdmt
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 10:09

Désolé mais je ne comprends toujours pas pourtant la question 1 ne m'a pas posé de difficultés.

Posté par
carpediem
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 10:41

on te donne pourtant le résultat ...

il est facile de voir que - \dfrac 1 {n-1 + 2} est l'opposé de \dfrac 1 {n + 1}

donc que les termes s'annulent deux par deux (somme télescopique) ...

aide : il faut donc calculer les dénominateurs  mais pas plus !!

Posté par
alexhdmt
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 10:54

-\frac{1}{n-1+2} est le dernier terme qui compose Sn. En revanche où se trouve votre terme: \frac{1}{n+1}?

Posté par
carpediem
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 11:23

carpediem @ 18-05-2023 à 09:59

S_0 = 0
 \\ S_1 = S_0 + \dfrac 1 {0 + 1} - \dfrac 1 {0 + 2}
 \\ S_2 = S_1 + \dfrac 1 {1 + 1} - \dfrac 1 {1 + 2}
 \\ S_3 = S_2 + \dfrac 1 {2 + 1} - \dfrac 1 {2 + 2}
 \\ ...
 \\ S_{n - 1} = S_{n - 2} + \dfrac 1 {n - 2 + 1} - \dfrac 1 {n - 2 + 2}
 \\ S_n = S_{n - 1} + \dfrac 1 {n - 1 + 1} - \dfrac 1 {n - 1 + 2}

et on additionne ces n + 1 égalités

et si tu ne vois pas comment ça se simplifie alors écris encore les égalités avec S_4 et S_{n - 2} ...
et simplifie les dénominateurs

Posté par
alexhdmt
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 11:29

Simplifier comme ça:
Sn= Sn-1+ \frac{1}{n(n+1)} ?

Posté par
carpediem
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 11:34

carpediem @ 18-05-2023 à 10:41


aide : il faut donc calculer les dénominateurs  mais pas plus !!

Posté par
alexhdmt
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 11:38

L'aide ne m'aide vraiment pas là

Posté par
carpediem
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 12:53

carpediem @ 18-05-2023 à 09:59

S_0 = 0
 \\ S_1 = S_0 + \dfrac 1 {\red 1} - \dfrac 1 {\red 2}
 \\ S_2 = S_1 + \dfrac 1 {\red 2} - \dfrac 1 {\red 3}
 \\ S_3 = S_2 + \dfrac 1 {\red 3} - \dfrac 1 {\red 4}
 \\ ...
 \\ S_{n - 1} = S_{n - 2} + \dfrac 1 {\red n - 1} - \dfrac 1 {\red n}
 \\ S_n = S_{n - 1} + \dfrac 1 {\red n} - \dfrac 1 {\red n + 1}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Formule explicite d'une suite 18-05-23 à 22:07

Bonsoir,
Je tente une explication avec une petite valeur numérique.
Pour calculer S6, on peut écrire ces six égalités :
S1 = S0 + 1/1 - 1/2
S2 = S1 + 1/2 - 1/3
S3 = S2 + 1/3 - 1/4
S4 = S3 + 1/4 - 1/5
S5 = S4 + 1/5 - 1/6
S6 = S5 + 1/6 - 1/7
Quand on les ajoute membre à membre, plein de choses s'annulent :
S1 + S2 + S3 + S4 + S5 qui figure à gauche et à droite.
Les 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 et 1/6.
Il reste S6 = S0 + 1 - 1/7.

Posté par
POXY
re : Formule explicite d'une suite 22-05-23 à 14:15

bonjour, merci pour cette difficulté que tu as présentée alors il faut retenir que cette suite est une suite croissante

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Formule explicite d'une suite 22-05-23 à 18:02

Tu as dit que tu avais réussi à faire 1) ; donc le sens de variation de la suite.
Ma tentative d'explication était pour la question 2).

Posté par
alexhdmt
re : Formule explicite d'une suite 23-05-23 à 14:06

Bonjour,
merci pour cette explication Sylvieg (je ne suis pas celui qui vous a répondu hier) je comprends beaucoup mieux en revanche je suis toujours coincé lorsque je veux faire l'addition de n termes de S.  
Par exemple si j'écris la somme de:
S0=0
S1= S0+1/1 -1/2
S2= S1+1/2 - 1/3
...
Sn-1= Sn-2+ 1/(n-1) - (1-n)
Sn= Sn-1+(1/n)- 1/(n+1)

Je peux bien évidemment barrer les termes qui s'annulent mais reste concrètement les termes (-1/3) et 1/(n-1) dont les opposés n'apparaissent explicitement pas. Donc comment peut-on assurer qu'ils "disparaissent" de la somme?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Formule explicite d'une suite 23-05-23 à 14:40

On considère qu'ils sont dans les pointillés.
En terminale, tu verras un nouveau type de démonstration, appelé "démonstration par récurrence", qui sera plus rigoureux.

Effectivement, hier je n'ai pas prêté attention à l'auteur du message de 14h15

Posté par
carpediem
re : Formule explicite d'une suite 23-05-23 à 17:20

c'est très rigoureux et je ne vois pas comment répondre autrement en première


alexhdmt @ 23-05-2023 à 14:06

Je peux bien évidemment barrer les termes qui s'annulent mais reste concrètement les termes (-1/3) et 1/(n-1) dont les opposés n'apparaissent explicitement pas. Donc comment peut-on assurer qu'ils "disparaissent" de la somme?


carpediem @ 18-05-2023 à 09:59

S_0 = 0
 \\ S_1 = S_0 + \dfrac 1 {0 + 1} - \dfrac 1 {0 + 2}
 \\ S_2 = S_1 + \dfrac 1 {1 + 1} - \dfrac 1 {1 + 2}
 \\ S_3 = S_2 + \dfrac 1 {2 + 1} - \dfrac 1 {2 + 2}
 \\ ...
 \\ S_{n - 1} = S_{n - 2} + \dfrac 1 {n - 2 + 1} - \dfrac 1 {n - 2 + 2}
 \\ S_n = S_{n - 1} + \dfrac 1 {n - 1 + 1} - \dfrac 1 {n - 1 + 2}

et on additionne ces n + 1 égalités

et si tu ne vois pas comment ça se simplifie alors écris encore les égalités avec S_4 et S_{n - 2} ...
mais l'as-tu fait ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Formule explicite d'une suite 23-05-23 à 18:35

Bonjour,
la rigueur ou pas vient de la notation "..."
qui représente tous les termes entre ceux qui sont explicitement cités
si on comprend bien cela ("tous" les autres) on est capable d'imaginer ceux qui manquent, ou les morceaux de ceux qui manquent, "cachés" dans les "..."

de toute façon une démonstration par récurrence nécessiterait d'imaginer (conjecturer) une formule explicite que l'on démontrerait ensuite par récurrence

utiliser la notation permettrait aussi d'écrire la somme en questions sans "..." mais sera bien moins commode à utiliser ici. (et moins claire !)

Posté par
carpediem
re : Formule explicite d'une suite 23-05-23 à 20:36

et ce qui est important c'est qu'additionner trois égalités ou n égalités ces du kifkif au même !!!

parce que ce qui compte c'est que la somme est finie ...

le seul problème est d'écrire explicitement ces n égalités (par exemple si n = 10 000 combien faut-il de pages ? ) (*)

donc les ... sont un "raccourci" tout à fait valable...

(*) je peux ... enfin je pourrai le faire mais en combien de temps et surtout sans une erreur ou oubli de ligne !!



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