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Géométrie
Hello !
J'ai un petit problème au niveau d'une homothétie ! on me demande de montrer que 2 médiatrices sont des droite remarquable d'un triangle mais elles le sont déjà non ?
enfin une médiatrice est une droite remarquable du triangle non ?
merci 
on a un triangle ABC , A',B' et C' milieux respectifs de [BC][AC][AB]
G centre de gravité de ABC , O centre du cercle circonscrit à ABC et H l'orthocentre de ABC ( je ne sais pas ou se situe l'orthocentre )
on doit montrer que O,G et H sont alignés :
pour cela on considère l'homothétie h de centre G et de rapport (-2)
1)déterminer les images de A' B' et C' par h ( donc la je retrouve les 36 sommets du triangle)
2) démontrer que les images des médiatrices de [BC] et de [AC] sont des droites remarquables du triangle ( c'est là ou je coince)
et pour finir 3) en déduire l'image de O par h puis conclure
Voila pour l'énoncé 
Bonjour,
En attendant le retour de kioups
Donne deux propriétés d'une médiatrice d'un triangle (enfin... les deux qui sont intéressantes ) ; concrètement donne deux propriétés de la médiatrice de [BC]
Que deviennent ces deux propriétés dans l'homothétie h ?
(n'oublie pas que la deuxième question suit la première)
Tout compte fait... si tu donnes les trois propriétés intéressantes d'une médiatrice d'un triangle, il y en aura probablement deux qui seront utiles pour la question 2 et la troisième qui sera utile pour la question 3...
Aide : donne les propriétés que tu connais d'une médiatrice.
Je te dirai si je la retiens et pour laquelle des deux questions 2 ou 3
je ne visualise pas bien ou pourrais être l'image de la médiatrice de [BC] en fait !
et pour les propriété et bien je dirais que le point d'intersection des médiatrices d'un triangle des le centre de gravité mais je ne pense pas que sa serve à grand chose
Bonjour,
j'ajoute à tout ce qui a été écrit que
"l'Orthocentre d'un triangle est le point d'intersection des hauteurs de ce triangle"
le point d'intersection des médiatrices d'un triangle des le centre de gravité
Ceci n'est pas une propriété d'une médiatrice (ce sont les médianes d'un triangle qui se coupent au centre de gravité de ce triangle)
Continue... les propriétés d'une médiatrice d'un triangle
une médiatrice issus d'un sommet coupe le ôté opposé en son milieu !
Tu continues probablement (sauf cas particulier du triangle équilatéral) à confondre médiatrice et médiane
les 3 médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point : elle sont concourantes et ce point et le centre du cercle circonscrit au trianglee
les 3 médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point : elle sont concourantes
Oui ! Voilà une propriété ; je la retiens pour la question 3
Encore... qu'est-ce que la médiatrice d'un segment ?
Voilà les deux propriétés que je retiens pour la question 2
. la médiatrice du côté BC passe par le point A'
. la médiatrice du côté BC est perpendiculaire à BC
A toi maintenant ; que deviennent ces deux propriétés par l'homothétie h ?
la 1ere : A' devient O
la 2e : reste la même
mais je ne vois pas bien la figure , j'arrete pas de la refaire, je ne sais pas ou placé l'orthocentre ?
Par définition l'orthocentre est le point de concours des hauteurs issues des sommets d'un triangle.
Mais A' ne devient pas O dans l'homothétie de centre G et de rapport -2
Je crois que tu continues de confondre médiatrice et médiane ; car la médiatrice n'est pas (sauf triangle particulier) transformée en elle-même
Progressivement :
. que devient A' (je crois que cette question est plus facile que la deuxième) ?
okay !
ça s'éclaire dans ma tête
c'est donc A qui devient A'
mais pour l'histoire de la médiatrice , elle reste une médiatrice par h
Eh bien... que devient le point A prime (intersection de la médiatrice du côté BC avec ce côté BC) dans l'homothétie de centre G et de rapport -2 ?
Voilà donc une première indication pour chercher comment est transformée la médiatrice qui passe par A'
On sait maintenant que la transformée sera une droite qui passe par A
Quelle propriété connais-tu de la direction d'une droite transformée par homothétie ?
je ne sais presque rien sur les homothétie , le fin des cours a eu lieu et on a appris que l'égalité que je t'ai écrite !
je ne saurais te dire ...
Difficile dans ces conditions de faire ce problème...
Il faut commencer par apprendre les propriétés de l'homothétie...
Je te donne la réponse : une droite qui ne passe pas par le centre de l'homothétie est transformée en une droite parallèle à la première (et si elle passe par le centre de l'homothétie elle est transformée en elle-même).
Maintenant tu dois pouvoir continuer...
Je te donne la solution.
La transfomée de la médiatrice (qui est une droite passant par A' et perpendiculaire au côté BC) sera une droite passant par le point transformé de A' c'est-à-dire passant par A et parallèle à cette médiatrice, donc perpendiculaire au côté BC
Question (là tu dois savoir répondre...) :
Comment se nomme dans le triangle ABC la droite qui passe par le sommet A et qui est perpendiculaire au côté BC ?
La droite (OA') est transformée par l'homothétie de centre G et de rapport -2 en la droite (A HA) sur la figure que j'ai postée
Quel est, en français et en toutes lettres, le nom d'une droite issue d'un sommet d'un triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Il n'y a pas de piège de ma part ; la réponse est simple mais je souhaite que tu donnes toi-même ce nom ; ce sera pour moi une preuve que tu suis.
Mais oui !
Alors maintenant il me semble que le paysage doit s'être éclairci pour toi dans ce problème.
Les trois médiatrices sont transformées par l'homothétie en les trois hauteurs
Le point commun aux trois médiatrices (le centre du cercle circonscrit au triangle) est donc transformé en le point commun aux trois hauteurs...
Je te laisse finir
transformé en l'orthocentre du triangle !
Oui effectivement je vois mieu ce qui se passe dans ce triangle !
Exact...
C'est un exercice intéressant qui te montre une application de l'homothétie.
Si tu jettes un coup d'œil dans les topics de seconde : "transformations et triangles" ou "géométrie", tu trouveras de nombreux problèmes "Droite d'Euler".
On y fait démontrer par d'autres méthodes (souvent plus longues) que les trois points O, G et H sont alignés et que ce que tu démontres très facilement ici en utilisant l'homothétie.
oui on parle ici de droite d'Euler !
Donc on a bien O et H qui sont alignées mais comment savoir si ils sont alignés à G ? on le sait juste parce que l'homothétie est de centre G ?
Il faut vraiment que tu te penches sérieusement sur les propriétés de l'homothétie...
Le transformé M' d'un point M (autre que le centre de l'homothétie) se trouve sur la droite qui joint le centre au point M
Et je pense que tu te souviens des exercices de vecteurs de la classe de seconde dans lesquels on demandait de démontrer que trois points sont alignés. L'une des méthodes consistait à montrer que deux vecteurs définis avec ces trois points étaient colinéaires.
oui je m'en souviens un petit peu !
je dois utiliser les vecteurs pour montrer qu'ils sont alignés ?
Dans l'esprit de cet exercice, je répondrais "non"
Puisque tu viens de démontrer que l'homothétie de centre G et de rapport -2 transforme le point O en le point H, tu as du même coup démontré :
. que les points O, G et H sont alignés ;
. que les points O et H sont de part et d'autre du point G ;
. que la distance de G à H est le double de la distance de G à O
Puissante l'homothétie !
carrément
JE voudrais te remercier de ton aide et surtout de m'avoir fais comprendre tt cela :)
merci encore
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