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Géométrie analytique

Posté par Profil Devoirs33 05-06-22 à 15:35

Bonjour,

J'aimerai de l'aide concernant cet exercice sur le nouveau chapitre Géométrie analytique

1) Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soient les points A(−6;3), B(8;8) et C(5;−7)
Donner une équation de la droite perpendiculaire à(AB) et passant par C.

Equation cartésienne : ax + by + c = 0
J'ai placé les points sur un repère orthonormé. J'ai également tracé la droite perpendiculaire passant par C, je constate qu'elle passe par B.

Le point C a pour coordonnées (5 ; -7) d'où a = 2 et b = -7
Donc, 2x -7y + c ?  
Je suis bloquée à partir d'ici.

b) Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soient les points A(−3;−2) et B(7;−3)
Donner une équation de la médiatrice du segment [AB].

Je ne l'ai pas encore effectué.

Merci pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Géométrie analytique 05-06-22 à 15:39

salut

faire est toujours bon pour voir et avoir de l'inspiration ...

ensuite je ne sais pas ce que tu fais ...

le point M(x, y) appartient à la perpendiculaire à la droite (AB) passant pas le point C \iff \vec {CM} \cdot \vec {AB} = 0

...

Posté par
Leilere : Géométrie analytique 05-06-22 à 15:41

Bonjour,

Qu'as tu vu en cours sur vecteur directeur, vecteur normal, etc...  ?

Posté par
Leilere : Géométrie analytique 05-06-22 à 15:41

bonjour carpediem,
tu as été plus rapide que moi. Je te laisse la main.

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 15:58

En cours, j'ai vu que un vecteur non nul est dit normal à une droite D sur sa direction et perpendiculaire à D.
Ses coordonnées (  a ; b )

Le vecteur directeur a pour coordonnées ( -b ; a )

J'ai juste effectué le repère orthonormé avec les points placés.

Posté par
carpediemre : Géométrie analytique 05-06-22 à 16:26

arrête de réciter des formules et réfléchis un peu !!

ne sais-tu pas calculer les coordonnées  des vecteurs CM et CA ?
ne sais-tu pas calculer leur produit scalaire ?

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 16:36

CM ( x - 5 )      CM ( -5x )
          y -(-7)                   7y  

CA ( -6-5)     CA ( -11)
         3 - (-7)               10

Posté par
carpediemre : Géométrie analytique 05-06-22 à 16:49

pardon erreur !!

carpediem @ 05-06-2022 à 15:39

le point M(x, y) appartient à la perpendiculaire à la droite (AB) passant pas le point C \iff \vec {CM} \cdot \vec {AB} = 0

...
donc évidemment CM et AB ...

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 17:15

Je trouve
CM ( x - 5 )      CM ( -5x )
          y -(-7)                   7y  

et AB ( 8 - (-6)       CM ( 14 )
              8 - 3                          5

Posté par
carpediemre : Géométrie analytique 05-06-22 à 17:30

x - 5 = 5x ??
y - (-7) = 7y ??

un peu de sérieux ...

et j'attends de voir proprement les résultats simplifiés puis le produit scalaire ...

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 17:34

Non

x - 5 = x - 5
y - (-7) = y + 7

AB (  14  ; 5 )
CM (  x - 5 ; y + 7 )

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 18:16

Pour calculer leur produit scalaire, dois-je bien calculer leur norme ?

Posté par
malou Webmasterre : Géométrie analytique 05-06-22 à 18:19

Bonjour, je ne fais que passer...tu devrais travailler cette fiche
Un cours complet sur le produit scalaire

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 18:48

Pour calculer la norme de u ( par exemple ) je fais : u = x² + y²
mais si les coordonnées comporte x et y, comment pourrais-je faire ?

Posté par
co11re : Géométrie analytique 05-06-22 à 19:38

Bonsoir,
1) Déjà, relis le message de carpediem de 15h39.  C'est une piste.

Quant à ton propre message à 15h58 :

Citation :
En cours, j'ai vu que un vecteur non nul est dit normal à une droite D sur sa direction et perpendiculaire à D.
Ses coordonnées (  a ; b )

Le vecteur directeur a pour coordonnées ( -b ; a )

Il n'est pas clair du tout et là est peut-être le problème.
Sinon, exprimé plus clairement, il pourrait te donner une autre piste.

De plus dans ton premier message, tu donnes les coordonnées de C au lieu de celles d'un vecteur normal.  Pour le coup, c'est vraiment confus.
As-tu un un cours, des exemples, pour essayer d'ordonner tout cela ?

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 20:02

Je viens de commencer le cours mais je n'ai pas d'exemples, ni d'exercices corrigés.

Dans mon cours, j'ai  : Toute droite D admet une infinité d'équations cartésiennes de la forme ax + by + c = 0 avec ( a ; b ) différent de ( 0;0)
u ( -b ; a ) est un vecteur directeur de la courbe D.
Un vecteur normal est dit normal à une droite D d'équation ax + by + c = 0 sur sa direction et perpendiculaire à celle de D
n ( a ; b )

Le vecteur normal est B car C passe par B pour être perpendiculaire à (AB) ?

Posté par
malou Webmasterre : Géométrie analytique 05-06-22 à 21:38

pourquoi ne prends-tu pas l'habitude de regarder dans les fiches d'exos corrigés ? rien que sur le produit scalaire, tu as 3 fiches d'exercices [lien]

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 22:19

Le lien que vous m'aviez donné me mène dans les fiches de première.

Je ne comprends pas : co11 me parle du chapitre géométrie analytique mais vous me conseillez les fiches sur le produit scalaire.*

J'ai une question qui porte sur le chapitre géométrie analytique dans lequel je suppose que le vecteur normal est B car C passe par B pour être perpendiculaire à (AB)

Posté par
heklare : Géométrie analytique 05-06-22 à 22:37

Bonsoir Devoirs33

Parce que les deux chapitres  sont liés

La droite  (AB) est l'ensemble des points M tels que  \vec{AM} et \vec{AB} sont colinéaires

La droite perpendiculaire à (AB)   passant par G est l'ensemble des points M tels que \vec{GM}\cdot \vec{AB} =0

Dans ce que vous avez écrit, il faut  respecter la casse,  en général majuscule pour les points.

B est un point, pas un vecteur normal.

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 22:45

D'accord
En revanche, je n'ai pas compris l'avant-dernière phrase.

Pour 1), j'ai juste placé les points dans un repère orthonormé.

Posté par
heklare : Géométrie analytique 05-06-22 à 22:58

À chaque fois qu'il est question d'orthogonalité, donc de produit scalaire, le repère est nécessairement orthonormé.


Dans le texte, les coordonnées de B sont (8, 8)  vous dites ensuite que

Citation :
Le vecteur normal est B car C passe par B pour être perpendiculaire à (AB)


C'est cette affirmation que je conteste.

Si vous écrivez un vecteur normal à \vec{AB} , ce sera alors un vecteur directeur de la perpendiculaire.

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 23:07

Donc le vecteur directeur est B ( -b ; a )

Posté par
heklare : Géométrie analytique 05-06-22 à 23:21

Il y a 26 lettres dans l'alphabet latin et 23 dans l'alphabet grec, sans compter les mêmes lettres en capitale.
Vous pouvez bien trouver une lettre pour nommer le vecteur normal sans utiliser les lettres qui ont déjà un sens.

Il y a une infinité de vecteurs directeurs

Si l'équation de la droite est ax+by+c=0 alors, oui, un vecteur directeur de cette droite est (-b, a)

Dans votre texte, B est un point. Il a pour coordonnées (8,8).   Ce ne peut être autre chose.


Vous pouvez appeler u un vecteur directeur de (AB) et n un vecteur normal à u

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 05-06-22 à 23:30

D'accord
Mais, je ne comprends pas l'intervention des produits scalaires.
Que faire avec CM et AB = 0 ?

Posté par
heklare : Géométrie analytique 05-06-22 à 23:48

La droite (CM) a un vecteur directeur \vec{v} par conséquent puisque vous voulez une équation de la perpendiculaire à (AB) passant par C  \vec{AB} est un vecteur normal à \vec{v}

On écrit donc que \vec{CM} \cdot \vec{AB}=0. Les deux droites seront donc bien perpendiculaires

Géométrie analytique

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 09:54

Bonjour,

CM et AB sont orthogonaux.
Pour calculer l'équation, il nous faut les coordonnées du vecteur normal n soit AB
Dois-je calculer la norme ?

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 10:08

Bonjour Devoirs33

L'expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormée est

\vec{u}\ \dbinom{x}{y}\quad \vec{v}\ \dbinom{x'}{y'}\quad \vec{u}\cdot\vec{v} =xx'+yy'.

Où est-il question de la norme des vecteurs ?

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 10:24

u . v = -6 * 8 + 3 * 8 = - 24

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 10:32

???
Vous voulez calculer l'équation de la perpendiculaire à (AB) passant par C. Pour ce faire, on a dit

\vec{CM}\cdot\vec{AB}=0

M\ \dbinom{x}{y} \quad \vec{CM}\ \dbinom{\phantom{x}}{}\quad \vec{AB}

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 10:35

M ( x ; y )
CM ( x - 5 ; y + 7 )
AB ( 14 ; 5 )

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 10:43

Oui

maintenant produit scalaire nul

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 10:46

CM . AB = 0
l'équation ax + by + c = 0
Je ne comprends pas avec quelle valeur je pourrais remplacer a car il y a deux valeurs : x - 5 et 14

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 10:55

voir 10 : 08

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 10:59

AB : u . v = -6 * 8 + 3 * 8 = - 24

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 11:07

Non
On applique ceci

\vec{u}\ \dbinom{x}{y}\quad \vec{v}\ \dbinom{x'}{y'}\quad \vec{u}\cdot\vec{v} =xx'+yy'.

à cela

\vec{CM}\ \dbinom{x-5}{y+7}\quad \vec{AB}\ \dbinom{14}{5}\quad \vec{CM}\cdot\vec{AB}=\dots =0

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 11:39

CM . AB = x - 5 * 14 + y + 7 * 5
CM . AB = x - 70   +    y + 35

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 11:43

Il faut mettre des parenthèses et revoir la distributivité

(x-5)\times 14= 14x-70

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 11:47

CM . AB = (x - 5) * 14 + (y + 7) * 5
CM . AB = 14 * x + 14 * (-5) + 5 * y + 5 * 7
CM . AB = 14x - 70 + 5y + 35
CM . AB = 14x + 5 y - 35

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 11:54

Vous avez oublié d'écrire que ce produit scalaire vaut 0.

Ensuite, vous aurez bien une équation de la perpendiculaire à (AB) passant par C.

Vous pouvez constater alors, que vous obtenez bien une équation de la forme ax+by+c=0 qui est bien une équation cartésienne d'une droite

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 11:55

CM . AB = 14x + 5 y - 35 = 0

pour b) je dois procéder de la même manière ?

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 12:04

Pour b) vous avez deux possibilités
La première étant plutôt utilisée en seconde

On sait qu'un point M appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si MA=MB ou plutôt MA^2=MB^2

La seconde, plutôt en première puisque vous avez la connaissance du produit scalaire. C'est donc bien la même méthode que celle utilisée en a)  

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 12:20

J'ai placé les points  A et B dans un repère orthonormé et au milieu de cette droite, j'ai placé M qui forme un perpendiculaire en ce segment

MA . MB = 0

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 12:25

Il aurait fallu par exemple appeler I le milieu de [AB]

La médiatrice serait alors l'ensemble des points M tels que \vec{IM}\cdot\vec{AB}=0

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 12:57

M ( x ; y )
AB ( 10 ; -1)
IM ( x - 5 ; y + 0,5 )

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 13:02

Qu'avez-vous comme coordonnées du milieu I ?

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 14:03

Je me suis trompée :

I ( 2,5 ; -3 )

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 14:17

A(-3;-2) et B (7;-3)


I milieu de [AB]

x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}\quad y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}


Ce n'est pas ce que je trouve

Posté par Profil Devoirs33re : Géométrie analytique 06-06-22 à 14:31

I ( 5(-3 + 7)/ 2 ; (-2 + ( -3) / 2 )
I ( 2 ; -2,5)

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 14:33

Maintenant, je suis d'accord.

Équation de la médiatrice  ?

Posté par
heklare : Géométrie analytique 06-06-22 à 14:34

Que vient faire 5  dans 5(-3+7)/2 ?

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