salut
Antiparallèle

Deux couples de droites (d, d') et (Δ, Δ') sont antiparallèles, s'ils ont les mêmes directions de bissectrices.

Les angles de droites (d, Δ) et (Δ', d') sont égaux (modulo π).

On dit que (d') est antiparallèle à (d) par rapport à (Δ, Δ').

Quatre points A, B, C et D tels que trois d'entre eux ne sont pas alignés sont cocycliques si et seulement si les droites (AB) et (DC) sont antiparallèles par rapport aux droites (AD) et (BC).

Si deux couples de droites (d, d') et (Δ, Δ') sont antiparallèles et concourants, on dit qu'ils sont isogonaux.

D'après Lalesco Trajan - La géométrie du triangle - Jacques Gabay - 2003

Droites antiparallèles aux côtés d'un triangle

Lorsqu'une droite est antiparallèle à un côté d'un triangle par rapport aux deux autres on sous-entend assez souvent les deux derniers côtés. On dira : « dans le triangle ABC la droite (d) est antiparallèle à (AB)» au lieu de : «la droite (d) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB) ».

La bissectrice d'un angle est la droite qui, passant par le sommet de cet angle, le partage en deux angles de même mesure.
La bissectrice d'un angle est son axe de symétrie.

Les bissectrices de deux droites (d) et (d') concourantes distinctes sont le lieu géométrique des points équidistants de ces deux droites.
Ce lieu est formé de deux droites perpendiculaires qui sont les axes de symétrie des droites (d) et (d').

bonsoir

merci de m'avoir donné des réponses, c'est sympa
malheureusement ce n'est pas complètement clair pr moi sauf ce que tu écris au début du 2ème message maisça je le savais déjà

je refléchis + en détail à ce que tu m'as répondu

merci  

Bonsoir pppa,

La définition de droites antiparallèles est plus générale.

Il est d' abord nécessaire de définir l' angle de 2 droites du plan:

On appelle angle orienté de 2 droites et , l' angle orienté de l' un quelconque des axes portés par avec l' un quelconque des axes portés par

Cet angle est noté

L' angle de deux droites et s' écrit aussi: ou

Cet angle est défini à près.

Deux couples de droites et sont antiparallèles si:



Deux figures:



Avec la première, on dit par exemple, que est antiparallèle à par rapport à et

Avec la seconde, si les 4 droites sont issues d' un même point , on dit également que et sont des isogonales de l' angle

Euh... une conséquence

Bonjour Cailloux

Ah, voilà des réponses comme je les aime ( bien sûr je dis merci à GénieMaths de m'avoir répondu mais ça m'avait pas bcp avancé par rapport à ce que j'avais lu sur Wikipedia) ; je vais étudier ça de + près et voir comment ça cadre avec l'énoncé d'un exercice que j'avais fait en partie (d'ailleurs ds le même chapitre que celui que ns avons fait sur la puissance de points par rapport à  des cercles et dt je suis en train de terminer de tt réécrire en un bloc et que je vais poster cette semaine ; ça m'a fait du bien de tt reprendre)

Si tu penses que c'est intéressant et si tu le souhaites je pourrais poster après le texte complet de l'exercice, il n'est pas très long, mais il n'est pas facile.

Encore grand merci à toi d'être intervenu

Bonjour pppa,

N' hésite pas à le poster! (mais dans un nouveau topic).

Je suis un peu moins disponible en ce moment; pour ma part, il y aura un petit délai...

Mais je ne suis pas seul à aimer la géométrie sur l' ...

bonjour Cailloux

D'abord je me permets de revenir sur les droites anti parallèles après avoir étudié ce que tu as mis en ligne

Merci de m'avoir donné une explication générale sur les droites antiparallèles, c'est clairement ce que je cherchais.

Je me permets de te poser 3 questions en complément.

1/ sur la 1ère figure : si je comprends bien l'ordre  dans (D, ) = (', D') + k a son importance sinon on a plus l'égalité des angles, et on doit tjs suivre l'ordre tel qu'il est ds l'exemple que tu as donné ?

2/  sur la 2éme figure, je retrouve l'égalité des angles t.q on l'a vu au 1/ ; juste que isogonal, je pensais que ça voulait dire de même mesure d'angle ou qui conserve les angles   ( mais ce mot n'est pas ds mon dictionnaire de français..., qui pourtant est gros). Est-ce que 2 couples de droites sécantes en un même point sont isogonales/naux ?? quand ils ont même bissectrice intérieure (et extérieure aussi d'ailleurs! ) ?

3/ Que peut-on ou veut-on prouver concrètement en montrant que 2 couples de droites sont antiparallèles ?
Pourquoi cette propriété n'est plus apprise ; est-ce qu'il y a une technique ou une notion + moderne qui la remplace ? Le livre où je l'ai trouvée est un livre de 1ère de 1966 ! En tt cas le chapitre ds lequel se trouve l'exercice où il est question de droites antiparallèles ne parle pas du tt (ni ds les chapitres qui précèdent et que j'ai lus aussi) des droites antiparallèles

Pardonne moi cette familiarité, j'espère que je ne te "prends pas trop la tête " avec ttes ces questions ; en tt cas tu me rends de grands services et tu expliques très bien

Pr ce qui est de l'exercice en rapport avec les droites antiparallèles, je le posterai bien sûr ds un nouveau topic, probablement ce soir. Bien sûr les topics sont ouverts à tt le monde et tte aide est la bienvenue, même si de fait je constate qu'on est souvent à échanger ts les 2, mais bon c'est pas grave, ça alimente la base de données de l'île, qui est aussi accessible à partir de moteurs de recherches.

et pr ta disponibilité, tu réponds si tu veux, si tu peux, quand tu veux quand tu peux, tu fais déjà bcp sur le site et chacun fait ce qu'il peut. Moi même parfois j'ai honte parce que qd j'essaie d'aider qqn dès fois je ne vais pas jusqu'au bout par mq de tps ou de compétence, et ça doit décevoir ; heureusement il y a des très bons qui prennet souvent le relais

Pour la question 1): tout à fait: un angle de droites est un angle orienté défini à près.

Par exemple: pour toute droites et

2)

Bonsoir Cailloux

Tt ça est très intéressant mais il faut que j'y réfléchisse +/., surtt pr ce que tu dis en 2/.