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Géométrie ds l'espace tétraèdre régulier
Bonjour
j'ai besoin d'un peud'aide pr terminer un exercice.
Ds un tétraèdre régulier ABCD(donc les 4 faces dont des triangles équilatéraux), on donne A' centre de gravité du triangle BCD, et G est le point tel que AG = 3/4 AA'.
J'ai établi que GA = GB = GC = GD = /4 x a (a = longueur des arêtes). Il faut maintenant établir que les droites (GB), (GC) et (GD) coupent les faces opposées aux sommets dt elles sont issues en leur centre de gravité.
Au départ c'est un pb de géométrie ds l'espace donc on ns fait démonter que les plans qui passent par G, un sommet (autre que A) et A' sondes plans médiateurs des 3 segments qui forment le triangle BCD.
Ce que je sais :comme les 4 faces sont des triangles équilatéraux, les médianes (sur lesquelles on trouve le centre de gravité au tiers à partir de la base), les hauteurs (perpendicualires à la base) et les médiatrices (qui coupent le segment base en son milieu) sont confondues.
Comment montrer que les droites (GB), (GC) et (GD) coupent les faces opposées aux sommets dt elles sont issues en leur centre de gravité. Pouvez-vs m'aider à avancer svp ( pr 1 face ça suffira, je ferai pareil pr le 2 autres)
merci d'avance
Bonjour,
Si tu as appris à utiliser les barycentres, c'est le moment de t'en servir !
D'autres démonstrations seraient lourdes.
Bonjour
oui je sais ou,pense savoir faire des calculs avec des barycentres mais dans l'espace j'ai du mal à voir comment les utiliser. Peux-tu m'aider à avancer un peu stp merci
Ecris chaque centre de gravité d'une face comme étant un barycentre.
Ecris aussi que G est un barycentre, lequel ?
D'accord je crois que j'ai compris.
G 'est le barycentre du tétraèdre régulier mais ça c'est indiqué ds l'énoncé. Donc si j'ai bien compris (mis dis moi si je me trompe) G c'est aussi le barycentre des 4 centres de gravité de chaque face et comme il est à même distance de chacun des centres de gravité (1/4 de la droite qui joint chq centre au sommet opposé si j'ai bien compris) je peux mettre des coeff. 1 partout donc j'écrirais :
+
+
+
=
.
C'est ça ?
Après avec les vecteurs si c'est bien ça je dois pouvoir me débrouiller pr démontrer que les droites passant par G et issues du sommet opposé passent par le centre de gravité de la face ?
Merci de me dire si je suis sur la bonne piste
Excuses l'énoncé dit exactement : G est le centre de gravité du tétraèdre, mais je pense que c'est aussi le barycentre des 4 centres de gravité de chq face ?
Ne te complique pas la vie. Utilise le théorème d'associativité.
G = bar{(A ; 1) ; (B ; 1) ; (C ; 1) ; (D ; 1)}
A' = bar{(B ; 1) ; (C ; 1) ; (D ; 1)}
Conclusion...
Merci Coll je pense que c'est bon
Conclusion : = -3
.
Et là je récite le cours : Ces 2 vecteurs sont colinèaires et ont même origine G donc les 3 points G, A, A' sont alignés :
G : centre de gravité du tétraèdre
A est un sommet
A' est le centre de gravité de la face qui lui est opposée.
En fait il fallait juste penser que le centre de gravité d'un triangle ds le plan c'est le barycentre de ses sommets avec les coeff. 1
Je fais pareil pr les 3 autres faces et j'ai fini ?
merci pr ton aide Coll; bonnes fêtes de fin d'année, à moins que...j'ai encore 2 exercices à faire mais j'essaye de les faire seul
Ciao !
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