Bonsoir,

"ce genre de graphique" est classique pour représenter graphiquement une suite

Un considère une suite définie par une relation de récurrence U_n+1 = f(U_n) où f est une fonction quelconque
ici f(x) est une simple droite (à peu de choses près y = -(4/3)x - 4/5 )
c'est à dire la suite définie par U_n+1 = -(4/3)U_n - 4/5
avec U₀ = -1

alors U₁ représente l'ordonnée du point d'abscisse U₀ sur la courbe f(x) : on "renvoie" verticalement U₀ sur la courbe
on reporte cette valeur U₁ (verticale) sur l'axe des abscisses (horizontal) en renvoyant ce point par une horizontale sur la droite y = x.
l'abscisse de ce nouveau point est donc U₁ et renvoyé verticalement sur l'axe des x.
Et on recommence autant qu'on veut pour obtenir U₂, U₃ ...
en renvoyant alternativement par une verticale vers f(x) et par une horizontale vers y = x
la suite est matérialisé par les abscisses des points successifs.

un exemple avec une autre fonction f(x), du second degré :

les abscisses des points A₀, A₁, A₂ ... sont les valeurs de la suite U₀, U₁, U₂ ...

ta suite est beaucoup plus simple que celle là puisque la fonction f(x) est une simple droite

"faire tendre n vers l'infini" c'est augmenter indéfiniment le nombre de "boucles" d'itérations
Il est visible que cette suite croit indéfiniment en valeur absolue (alternativement >0 et <0)
reste à savoir si elle atteint une limite ou bien si elle croit vers l'infini en valeurs absolues.

pour cela tu as presque répondu : "la suite semble géométrique"
en fait elle ne l'est pas : le rapport de deux valeurs successives n'est pas constant

Mais si on "décale" l'origine au point d'intersection de f(x) et de y = x, cela devient une suite géométrique par rapport à cette nouvelle origine (un coup du père Thalès) et donc croit vers l'infini (en valeur absolue).

Merci pour l'aide donc pour justifier je peux dire que si n est pair ou impair alors les valeurs de Un sont négatives ou positives, donc si la suite n'est pas géometrique , elle est quelconque ?

la raison d'une suite géométrique peut être négative et alors la suite est alternativement positive et négative, ça ne l'empèche pas d'être géométrique !

par exemple la suite
1, -2, +4, -8, +16, .... U_n = (-2)ⁿ est bien une suite géométrique de raison -2

ici le problème est que même en valeur absolue (si tu changes de signe tous les termes négatifs) la raison n'est pas constante.

sur le graphe on "lit" environ (graphe pas très précis)
U0 = -1
U1 = 0.5 U1/U2 = -0.5
U2 = -1.4 U2/U1 = -2.8
U3 = 1 U3/U2 = -0.7
U4 = -2 U4/U3 = -2
U5 = 1.7 U5/U4 = -0.75

le rapport U_n+1/U_n est loin d'être constant !

la précision du graphe est insuffisante pour en dire plus
il faudrait calculer les valeurs précises pour voir qu'en ajoutant à cette suite une certaine valeur constante (de l'ordre de 0.4) la nouvelle suite V_n obtenue est une suite géométrique

la suite U_n est ce qu'on appelle une suite "arithmético-géométrique" donc pas tout à fait quelconque

suite géométrique : U_n+1 = rU_n
suite arithmétique : U_n+1 = r + U_n
suite "arithmético-géométrique U_n+1 = aU_n + b
suite "quelconque" n'importe quoi d'autre

ici on a U_n+1 = aU_n + b où y = ax + b est l'équation de la droite descendante

merci beaucoup pour les explications, j'ai enfin compris pourquoi c'était une suite arithmético-géométrique et comme ta dis, la raison n'est pas constante elle varie à chaque fois, donc je justifie pour "D'après le graphique que peut-on dire sur les valeurs de Un lorsque n tend vers +infini ?"
que c'est une suite arithmético-géométrique, que la raison n'est pas constante et je justifie en donnant les 5 premiers termes + les vérifications en divisant par le terme précédent, donc si les valeurs de Un est pair ou impair alors les valeurs de Un sont négatives ou positives

Oui mais on te demande "lorsque n tend vers +infini ?"
il faut donc que tu justigfie que en valeur absolue les termes tendent vers l'infini et pas ver une limite finie du geure 5000.

et ceci se justifie en "décalant" la suite en recentran,t l'origine des coordonées au pont d'intersection
alors la suite déc

(envoi prématuré par appui intempestif sur Tab au lieu de A) :
je ne corrige pas les fautes de frappe, juste la fin :

... alors la suite ainsi décalée est, par rapport à ce point comme origine, une suite géométrique (preuve par les homothéties / Thalès sur les parallèles de la spirale infernale)