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groupe des racines nèmes de l'unité

Posté par
vita 07-12-08 à 21:38

bonsoir,
je bloque sur une question de mon dm :

on a ce groupe : Un={z / zn=1} pour la loi multiplié
C'est un groupe cyclique engendré par w1 avec wk=e2ik /n

et j'arrive pas à faire :
soit k un entier premier avec n
enen écrivant un égalité de Bezout, montrer que w1 est une puissance de wk

Posté par
lafol Moderateurre : groupe des racines nèmes de l'unité 07-12-08 à 23:34

bonsoir
si : ak+bn=1

w_k^a=e^{2iak\pi /n}=e^{2i\pi /n - 2ib\pi}=w_1

Posté par
raymond Correcteurre : groupe des racines nèmes de l'unité 07-12-08 à 23:36

Bonsoir.

Si n et k sont premiers entre eux, il existe deux entiers u et v tels que u.n + v.k = 1

Alors :

3$\textrm w_k^v = exp(\fra{2i\pi}{n}.kv) = exp(\fra{2i\pi}{n}.(1-u.n)) = exp(\fra{2i\pi}{n}).exp(-2iu\pi)) = w_1

Posté par
raymond Correcteurre : groupe des racines nèmes de l'unité 07-12-08 à 23:36

Bonsoir lafol.

Posté par
lafol Moderateurre : groupe des racines nèmes de l'unité 08-12-08 à 21:58

Bonjour Raymond


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