(Voir dessin)

Soit un triangle équilatéral ABC et H le pied de la hauteur (qui est aussi médiane) issue de C.

On a: BC² = HC² + HB²
avec HB = AB/2 (mais AB = BC puisque le triangle ABC est équilatéral) ->  on a HB = BC/2
-->
BC² = HC² + (BC/2)²
BC² = HC² + (BC²/4)
HC² = (3/4)BC²

HC = ((V3)/2).BC   (V pour racine carrée)

Aire(ABC) = (1/2).AB.HC  (mais AB = BC puisque le triangle ABC est équilatéral).
Aire(ABC) = (1/2).BC.HC  

Aire(ABC) = (1/2).BC.((V3)/2).BC

Aire(ABC) = ((V3)/4).BC²

Posons AB = BC = AC = a ->

Aire(ABC) = ((V3)/4)a²

Périmètre(ABC) = 3a
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Soit 2 triangles équilatéraux, l'un de cotés = a et l'autre de cotés = b

S(1) = ((V3)/4)a²
P(1) = 3a

S(2) = ((V3)/4)b²
P(2) = 3b

On sait que P(1) + P(2) = L
-> 3a + 3b = L

b = (L-3a)/3
->
S(2) = ((V3)/4)(L-3a)²/9
S(2) = ((V3)/36)(L-3a)²

S(1) + S(2) =  ((V3)/4)a² + ((V3)/36)(L-3a)²   (avec a dans [0 ;L/3])
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f(x) = ((V3)/4)x² + ((V3)/36)(L-3x)²   (avec x dans [0 ;L/3])

f '(x) = ((V3)/2)x - ((V3)/6)(L-3x)
f '(x) = ((V3)/2)x - ((V3)/6) L + ((V3)/2)x
f '(x) = (V3)x - ((V3)/6) L
f '(x) = (V3).(x - (L/6))

f '(x) < 0 pour x dans [0 ; L/6[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = L/6
f '(x) > 0 pour x dans [L/6 ; L/3] -> f(x) croissante.

f(x) est minimum pour x = L/6
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(S1+S2) sera minimum pour a = L/6

Donc pour P(1) = 3.(L/6) = L/2
-> P(2) = L - (L/2) = L/2

Conclusion (S1+S2) sera minimum lorsque les 2 triangles seront égaux.
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Sauf distraction.  

merciii beaucoup!