La droite d'Euler

1) A est un sommet de ABC, I le milieu du côté opposé à celui-ci.
(AI) est une médiane de ABC.
Par définition, le centre de gravité G, est le point d'intersection des médianes;
mais aussi l'isobarycentre des sommets de ABC, ainsi .

On introduit I, isobarycentre de B et C.


.

L'homothétie de centre G qui transforme I en A est celle de rapport k=-2.

2) La médiatrice de [BC] est la droite qui lui est perpendiculaire, et qui passe par
son milieu I. Soit M un point quelconque de la médiatrice de [BC].

H_G;-2 transforme M en M' tel que (IM) // (AM'). Hors (IM) est par définition
perpendiculaire à [BC].
SI deux droites sont parallèles, toutes perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire
à l'autre. (AM') est donc perpendiculaire à [BC].
Dans le triangle ABC, (AM') est la droite qui passe par A, un sommet de ABC; et qui est
perpendiculaire à [BC], le côté opposé à A. (AM') est donc une hauteur de ABC.

(AH) est bien l'image de la médiatrice de [BC] par H_G;-2.

3) Soit (JN) la médiatrice de [AC], avec J milieu de [AC] et N un point quelconque de celui-ci.
D'une manière analogue à 2) on a H_G;-2 (JN) = (BN'), avec (BN') une hauteur de ABC.
On définit par O le point d'intersection des médiatrices et E l'orthocentre de ABC.

O (IM) et (JN).
H_G;-2 transforme O en O' tel que:
- (IO) // (AO') et (JO) // (BO').
Ainsi O' est le point d'intersection de (BN') et (AH); hors (BN') et (AH) sont 2 hauteurs de ABC.
O' est donc par définition l'orthocentre de ABC, O' = E.

4) On a vu plus haut que E, l'orthocentre de ABC, était l'image de O par H_G;-2.
Le centre d'une homothétie, un point et son image sont toujours alignés.
, on conclut que O, le centre du cercle circonscrit, G, le centre de
gravité et E, l'orthocentre sont alignés.