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Homothétie dans un repère.

Posté par
Othnielnzue23 05-06-20 à 21:42

Bonjour , j'ai besoin d'aide.

Merci d'avance.

Le plan est muni du repère (O;\vec{i};\vec{j}).

Soit les points \Omega(1;2) , A(-1;1) , B(-2;-1) et (D) la droite d'équation 2y+x-3=0.

Soit h l'homothétie de centre \Omega et de rapport -2.

1) On pose A'=h(A) et B'=h(B) .

Déterminer les coordonnées de A' et B'.

2) Soit M(x;y) et M'(x';y') son image par h.

Exprimer x et y en fonction x' et y'.

3) En déduire une équation de (D') image de la droite (D) par h.

Pour 1) je trouve A'(5;4) et B'(7;8) avec GeoGebra.

Mais comment trouver celà par les calculs ?

Posté par
malou Webmasterre : Homothétie dans un repère. 05-06-20 à 22:00

bonsoir
toujours pareil
tu reprends A'=h(A) ce qui en vecteurs s'écrit ....
et si tu sais l'écrire en vecteurs, tu passes ensuite aux coordonnées

Posté par
Othnielnzue23re : Homothétie dans un repère. 06-06-20 à 09:43

Bonjour,

1)Je détermine les coordonnées de A' et B'.

On a : A'=h(A) <==> \vec{\Omega A}=-2\vec{\Omega A'}

\Omega(1;2) , A(-1;1) et A'(x_{A'};y_{A'})

Donc  \vec{\Omega A}}(-2;-1) et \vec{\Omega A'}(x_{A'}-1;y_{A'}-2)


D'où \begin{cases} x_{A'}-1=4 \\ y_{A'}-2=2 \end{cases}

==>\begin{cases} x_{A'}=5 \\ y_{A'}=4 \end{cases}

Donc A'(5;4)

On a : B'=h(B)

Donc  \vec{\Omega B}=-2\vec{\Omega B'}

\Omega(1;2) ,B(-2;-1) et B'(x_{B'};y_{B'})

==> \vec{\Omega B}(-3;-3) et \vec{\Omega B'}(x_{B'}-1;y_{B'}-2)


D'où \begin{cases} x_{B'}-1=6 \\ y_{B'}-2=6 \end{cases}


==>\begin{cases} x_{B'}=7 \\ y_{B'}=8 \end{cases}

Donc B'(7;8)

2) j'exprime x et y  en fonction de x' et y'

On a M' =h(M)

D'où \vec{\Omega M}=-2\vec{\Omega M'}

\Omega (1;2) , M(x;y) et M'(x';y')

\vec{\Omega M}(x-1;y-2) et \vec{\Omega M'}(x'-1;y'-2)


D'où \begin{cases} x-1=-2(x'-1) \\ y-2=-2(y'-2)\end{cases}


Donc \begin{cases} x=-2x'+3 \\ y=-2y'+6 \end{cases}


3) On a :(D):2y+x-3=0

Je remplace x par -2x'+3 et  y par -2y'+6 dans (D):2y+x-3=0 pour trouver l'équation de la droite (D').

==> (D'):2(-2y'+6)+(-2x'+3)-3=0

<==> -4y'+12-2x'+3-3=0

<==> -4y'-2x'+12=0

Donc la droite (D') a pour équation -4y'-2x'+12=0

Merci beaucoup .

Posté par
malou Webmasterre : Homothétie dans un repère. 06-06-20 à 10:26

on va peut-être y aller pas à pas au niveau des questions
1)

Citation :
On a : A'=h(A) <==> \vec{\Omega A}=-2\vec{\Omega A'}

est faux

Posté par
Othnielnzue23re : Homothétie dans un repère. 06-06-20 à 10:48

Oui , désolé .

C'est plutôt  A'=h(A) <==> \vec{\Omega A'}=-2\vec{\Omega A}

Posté par
mathafou Moderateurre : Homothétie dans un repère. 06-06-20 à 10:53

bonjour,

cette erreur est tout de même très récurrente chez toi !

faite pratiquement au moins une fois sur deux, que ce soit avec des vecteurs ou avec des angles etc

Posté par
Othnielnzue23re : Homothétie dans un repère. 06-06-20 à 10:54

Citation :
On a : B'=h(B)

Donc \vec{\Omega B'}=-2\vec{\Omega B}


Citation :
M'=h(M)
D'où \vec{\Omega M'}=-2\vec{\Omega M}

Posté par
Othnielnzue23re : Homothétie dans un repère. 06-06-20 à 13:56

Après ces corrections ci dessus , il n'y a plus de problème pour la question 1.

2) J'exprime x et y en fonction de x' et y'.

On a : M'=h(M)

D'où \vec{\Omega M'}=-2\vec{\Omega M}

\Omega (1;2) , M(x;y) et M'(x';y')

\vec{\Omega M}(x-1;y-2) et \vec{\Omega M'}(x'-1;y'-2)

D'où \begin{cases} x'-1=-2(x-1) \\ y'-2=-2(y-2) \end{cases}

<==> \begin{cases} x'-1=-2x'+2 \\ y'-2=-2y'+4 \end{cases}

<==>\begin{cases} -2x+2=x'-1 \\ -2y+4=y'-2 \end{cases}

<==> \begin{cases} -2x=x'-3 \\ -2y=y'-6 \end{cases}

<==> \begin{cases} 2x=-x'+3 \\ 2y=-y+6 \end{cases}

<==> \begin{cases} x=\dfrac{3-x}{2} \\ y=\dfrac{6-y'}{2} \end{cases}

3) On a : (D):2y+x-3=0

Je remplace x par \dfrac{3-x'}{2} et y par \dfrac{6-y'}{2} dans 2y+x-3 pour trouver l'équation de la droite (D').

(D):2y+x-3=0

==> (D'):2(\dfrac{6-y'}{2})+\dfrac{3-x'}{2}-3=0

<==> (D'):\dfrac{2(6-y')}{2}+\dfrac{3-x'}{2}-3=0

<==> (D'):6-y'+\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{2}-3=0

<==> (D'):-y'-\dfrac{x'}{2}+6+\dfrac{3}{2}-3=0

<==>  (D'):-y'-\dfrac{x'}{2}+\dfrac{9}{2}=0

<==>  (D'):y'+\dfrac{x'}{2}-9=0

La droite (D') a pour équation : y'+\dfrac{x'}{2}-\dfrac{9}{2}

Merci beaucoup

Posté par
mathafou Moderateurre : Homothétie dans un repère. 06-06-20 à 16:10

oui mais non

se relire (on ne compte plus les fautes de frappe ... presque une toutes les deux lignes

y'+x'/2 - 9/2 n'est pas une équation de droite, ni de quoi que ce soit d'ailleurs
dommage de gâcher ainsi la conclusion par une bêtise alors que -y' -x'/2 +9/2 = 0 en était une, et juste.

et puis que de lourdeur dans la manipulation des expressions ... (en première ??)

Posté par
Othnielnzue23re : Homothétie dans un repère. 06-06-20 à 16:41

Ah désolé

Pourtant  je bien écrit La droite à pour équation :y'=x'/2-9/2=0  sur mon papier ici....

Pour la ''lourdeur dans la manip des expressions'' , je l'ai fait exprès de sorte qu'une personne ne puisse avoir des problèmes à corriger mes fautes  (et aussi pour éviter de me tromper )

Sans celà , impossible de savoir où il y a une panne.

Merci beaucoup.

Posté par
mathafou Moderateurre : Homothétie dans un repère. 06-06-20 à 19:27

y'=x'/2-9/2=0 est pire ...
(nouvelle faute de frappe ! )
soit c'est       y' = moins x'/2 + 9/2
soit c'est       y' + x'/2 - 9/2 = 0

mais pas un mélange des deux !

( ou si on veut       x'+ 2y' = 9       ou       x' + 2y' - 9 = 0 )


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