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inégalité

Posté par
Rafalo 10-06-07 à 08:49

bonjour,

exercice d'arihtmétqiue qui me pose problème:

a, b et c 3 réels strictement positifs.

Démontrer que :

5$\frac{a}{c} + 5$\frac{a}{b} + 5$\frac{b}{c} + 5$\frac{c}{b} + 5$\frac{b}{a}+5$\frac{c}{a} 6

(j'ai essayé d'introduire une fonction en fixant deux varaibles mais je n'y arrive pas et je doute que se soit la bonne méthode).

merci ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : inégalité 10-06-07 à 08:51

Bonjour,

Et en mettant tout au même dénominateur ?

Nicolas

Posté par
jamo Moderateurre : inégalité 10-06-07 à 08:53

Bonjour,

Considère la fonction f définie sur R+ par : f(x) = x+ 1/x

Essaie de démontrer que son minimum est 2 ... et le tour sera joué !

Posté par
Rafalore : inégalité 10-06-07 à 08:54

en fait j'étais arrivé à:

3$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3

et sur le meme dénominateur on obtient une fraction compliqué donc j'avais ignoré cette méthode mais si ca peut marcher....

Posté par
Rafalore : inégalité 10-06-07 à 08:55

jamo: ok j'essaie...

Posté par
jamo Moderateurre : inégalité 10-06-07 à 08:55

Essaie ma méthode, c'est tout simple ...

Posté par
Rafalore : inégalité 10-06-07 à 09:24

c'est bon f'(x)=1-1/x² .

f admet un minimum en 1 qui vaut 2 par conséquent pour tout réel strictement positifs a, b et c l'inégalité est toujours vraie.

merci jamo.

Posté par
jamo Moderateurre : inégalité 10-06-07 à 09:26

Ok de rien ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : inégalité 10-06-07 à 09:29

Inutile de dériver.

3$x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : inégalité 10-06-07 à 09:31

f(x) = x + 1/x avec x dans R*+

f '(x) = 1 - 1/x²
f '(x) = (x²-1)/x²
f '(x) = (x-1)(x+1)/x²

f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ --> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 1
f '(x) > 0 pour x dans ]1 ; +oo[ --> f(x) est croissante.

f(x) est donc minimum pour x = 1, ce min vaut f(1) = 1 + 1/1 = 2

Donc f(x) >= 2 pour x dans R*+

--> f(a/c) >= 2
a/c + c/a >= 2 (1)

et  f(b/c) >= 2
b/c + c/b >= 2 (2)

et  f(b/a) >= 2
b/a + a/b >= 2 (3)

(1), (2) et (3) -->
a/c + c/a + b/c + c/b + b/a + a/b >= 6
-----
Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : inégalité 10-06-07 à 09:32

C'est mieux sans dériver.

Posté par
Rafalore : inégalité 10-06-07 à 09:35

avec ca j'ai de quoi faire....

les 3 méthodes sont plaisantes et celle de Nicolas_75 est malicieuse....

merci à tous

Posté par
moctarre : inégalité 10-06-07 à 10:28

Salut,
Une autre métrode,
on sait que : 3$(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}})^2\ge 0 donc
3$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge 2
De la même manière on a 3$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 et 3$\frac{b}{c}+{c}{b}\ge 2.
Donc on a bien 3$\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 6

Posté par
jamo Moderateurre : inégalité 10-06-07 à 10:35

Une méthode intéressante !

Posté par
Rafalore : inégalité 10-06-07 à 10:37

exellent pour l'astuce moctar

Posté par
moctarre : inégalité 10-06-07 à 10:38

je viens de me rendre compte que j'ai fait beaucoup d'erreurs sur l'écriture,j'espère que vous comprendrez.

Posté par
Rafalore : inégalité 10-06-07 à 10:42

il manque juste la fraction entre c et b mais ca reste compréhensible t'inquiète... (et il manque des termes dans la dernière inégalité)

en tout cas le raisonnement est là...

Posté par
moctarre : inégalité 10-06-07 à 10:44

ok.

Posté par
Fractalre : inégalité 10-06-07 à 11:26

Bonjour

Et si tu connais l'inégalité arithmético-géométrique, c'en est une application directe.
Mais sauf erreur, elle n'est pas au programme de première...

Fractal

Posté par
simon92re : inégalité 10-06-07 à 11:29

elle n'est pas ua programme de première, sauf si elle peut etre appelé sdous un autre nom

Posté par
Fractalre : inégalité 10-06-07 à 11:29

Non, a priori elle n'y est pas.
La méthode la plus simple dans ce cas là reste à mon avis celle de moctar

Fractal

Posté par
Rafalore : inégalité 10-06-07 à 11:36

tu veux parler de : pour a >0  et b >0,

(a+b)2\sqrt{ab}

j'aimerais bien le démontrer mais j'y arrive pas...

de plus comment l'appliquer...

Posté par
Fractalre : inégalité 10-06-07 à 11:42

On a 3$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0 (un carré est toujours positif)
On développe, ce qui nous donne 3$a-2\sqrt{ab}+b\ge 0 soit 3$\fbox{a+b\ge 2\sqrt{ab}

Mais ici, moctar a donné directement la formule à appliquer.
Il suffit de faire comme je viens de faire, mais en développant 3$(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}})^2\ge%200

Fractal

Posté par
Rafalore : inégalité 10-06-07 à 11:43

exact j'y avais pas pensé...

merci


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