bonjour,
moi aussi j'aime bien les inéquations

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est-ce bon de partir sur le fait que:
|x+y||x|+|y|
|y+z||y|+|z|
|z+x||z|+|x|
pour resoudre cette inequation?

rezoons>>

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Bonsoir : déjà c'est pas une inéquation mais une inégalité qui est tout le temps vérifiée.
Ensuite tu vois que si tu sommes tes trois inégalités tu n'obtiens pas le résultat demandé! Donc essaye de changer de technique !

hatimy>>

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je vais essayer de changer de technique (j'en avais deja essayer d'autres).
j'aime bien aussi les inegalités.

Bon voici un debut de reponse alors:
hatimy>

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si x,y et z sont du meme signe alors |x+y| + |y+z| + |z+x|= |x| + |y| + |z| + |x+y+z| donc l'inegalite est verifiee

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Tu preferes les inegalites ou les equations? :D

dami>>

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du tant qu'il y a des inconnues ca me va.

dami22sui>>

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hihi ! pas mal dami22su, et maintenant sans cette hypothèse ?

hatimy->

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On sait que |x+y| |x| + |y| donc il faut montrer que |x+z| + |y+z| |z| + |x+y+z| , mais la

dami>>

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avec ce raisonement ca mene a:

|x+y||x|+|y|
|y+z||y|+|z|
|z+x||z|+|x|
donc:
|x+y|+|y+z|+|z+x||x|+|y|+|z|+|x|+|y|+|z|

mais aprés ca bloque car |x+y+z||x|+|y|+|z|

je pense avoir trouvé mette cette methode et lonque (bon courage pour tout lire hatimy)

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j'ai essayé tout les cas possible.

Si on a tous les nombres positifs :
On a en simplifiant :
2x+2y+2z=2x+2y+2z

Si on a tous les nombres négatifs :
On a en simplifiant :
-2x-2y-2z=-2x-2y-2z

Si on a deux nombres positif (ici x et y) :
Pour |x|>|z|>|y|
On a en simplifiant :
0y ce qui est juste vu que y est positif.

Pour |x|>|z| et |y|>|z|
On a en simplifiant :
z0 ce qui est juste vu que z est négatif.

Pour |z|>|x| et |z|>|y|
On a 2 cas :
Si x+y+z<0 on a en simplifiant :
-2z=-2z
Si x+y+z 0 on a en simplifiant:
-zx+y
Or :
x+y+z>0
z>-x-y
-z<x+y

Si on a un nombres positif (ici x ) :
Pour |z|>|x|>|y|
On a en simplifiant :
y0 ce qui est juste vu que y est négatif.

Pour |y|>|x| et |z|>|x|
On a en simplifiant :
0x ce qui est juste vu que x est positif.

Pour |x|>|y| et |x|>|z|
On a 2 cas :
Si x+y+z 0 on a en simplifiant :
2x=2x
Si x+y+z<0 on a en simplifiant:
y+z-x
Or:
x+y+z<0
y+z<-x

Salut

Une méthode bien bourrine :

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On utilise l'identité de Hlawka que j'ai donnée en défi ici et ton inégalité en découle

La méthode donnée par rezoons peut être simplifiée, les cas 2 nombres positifis ou 2 nombres négatifs se traitent de la même manière: on passe de l'un à l'autre en changeant le signe de tous les nombres (tout comme le cas où ils sont tous négatifs). Cette inéquation possède pas mal de symétrie, les utiliser permet d'économiser des calculs.

Il suffit donc de vérifier l'inégalité avec x négatif et y et z positifs.

Question subsidaire : est-ce toujours vrai dans C ?

Nightmare >>

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On va dire que je voulais, sans le dire, qu'on démontre l'inégalité de Hlawka pour en venir l'inégalité proposée

Nightmare >>

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On va dire qu'il y a des gens qui voient de belles choses ici ... et l'inégalité de Hlawka ça tient en trois lignes ... très astucieux oui !: regarde l'avant dernier poste ...avec un petit bonus, l'inégalité de Hlawka généralisée

Bonjour ;

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Si on utilise ces deux résultats (assez faciles à vérifier):


alors pour tous réels , et on peut écrire ,

(en utilisant )

(en utilisant )

(en utilisant ) _{(sauf erreur bien entendu)}

Elhor, c'est beau (rien qu'en lisant votre nom on pouvait le prévoir ...)!!

Merci à toi hatimy
Elle est plus astucieuse la preuve de cette inégalité dans le cas complexe !!!

Un bien vieux topic !

il me semble qu'on peut caractériser le cas d'égalité dans l'inégalité

pour réels, à savoir _{sauf erreur bien entendu}

Bonjour,
Merci elhor_abdelali d'avoir exhumé ce joli sujet
Si j'ai bien compris, l'égalité a lieu si et seulement si ce que tu as noté ii est une égalité.
Je vais regarder ça.

Je confirme

Grand MERCI pour la confirmation