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Inégalité à deux variables

Posté par
Picarresur6 24-04-23 à 17:01

Bonjour,

Supposons b, n \in \{x \in \mathbb{N} | x \geq  2\}.

Comment démontrer la proposition suivante ?
\frac{b}{b-1}(b^n -1)-n > 0

Je n'ai pas d'idée à propos de comment il faut faire…

Merci par avance.

Posté par
larrechre : Inégalité à deux variables 24-04-23 à 18:30

Bonjour,

Une piste. Si b2, bn-1>0 pour tout n

Posté par
carpediemre : Inégalité à deux variables 24-04-23 à 19:07

salut

on reconnait dans \dfrac {b^n - 1} {b - 1} la ... ?

Posté par
Picarresur6re : Inégalité à deux variables 24-04-23 à 20:05

larrech @ 24-04-2023 à 18:30

Bonjour,

Une piste. Si b2, bn-1>0 pour tout n


En effet, mais comment prouver, même en supposant que \frac{b}{b-1} \sim 1, que b^n - 1 > n ?

Posté par
Picarresur6re : Inégalité à deux variables 24-04-23 à 20:08

carpediem @ 24-04-2023 à 19:07

salut

on reconnait dans \dfrac {b^n - 1} {b - 1} la ... ?


Il s'agit de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique avec u_0 = 1 ?

Posté par
carpediemre : Inégalité à deux variables 24-04-23 à 20:10

Picarresur6 @ 24-04-2023 à 20:08

Il s'agit de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique avec u_0 = 1 ?
bien imprécis ...

et quand ce sera précis ce sera fini ...

Posté par
Picarresur6re : Inégalité à deux variables 24-04-23 à 20:48

* Modération > Citation inutile effacée. *

Il s'agit de la formule de la somme des termes allant de u_0 à u_{n-1} d'une suite géométrique u_n de raison b avec u_0 = 1 ?

Posté par
Picarresur6re : Inégalité à deux variables 24-04-23 à 22:05

Puisque b > 1 et u_0 \geq 1, u_n > 1 donc S_n > 1, et \frac{b}{b-1}  > 1 par définition de b donc le produit des deux positifs est nécessairement supérieur à 0 ; mais comment montrer que ce même produit est strictement plus grand que n ?

Posté par
carpediemre : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 09:41

que c'est maladroit et des notations bien inutiles : que viennent faire ces u_0 et u_n ?

et toujours imprécis : des articles indéfinis et il y manque en plus le plus important


\dfrac {b^n - 1} {b - 1} est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison b

\dfrac {b^n - 1} {b - 1} est la somme des n puissances de b de b0 à bn - 1


traduction mathématique :   \dfrac {b^n - 1} {b - 1} = 1 + b + b^2 + ... + b^{n - 1}


il suffit alors de multiplier par b  ... puis de conclure avec l'hypothèse b > 1

Posté par
Picarresur6re : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 17:22

* Modération > Citation inutile effacée. *

il suffit alors de multiplier par b  ... puis de conclure avec l'hypothèse b > 1


Mais comment montrer que \frac{b}{b-1}(b^n -1 ) > n de façon à ce que la différence des deux soit strictement supérieure à 0 ?

Posté par
carpediemre : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 17:53

combien de termes dans la somme   \dfrac {b^n - 1} {b - 1} = 1 + b + b^2 + ... + b^{n - 1}   ?

en la multipliant par b par quoi sont-ils tous minorés ?

conclusion ?

Posté par
Picarresur6re : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 20:10

Il y a n termes dans la somme, et en multipliant celle-ci par b, ils sont tous minorés par b.

On peut donc considérer :
\frac{b}{b-1}(b^n-1) \geq bn

Or bn - n = n(b-1). On a supposé b,n \geq 2 donc n(b-1) \geq n \geq 2 > 0 ; ainsi \frac{b}{b-1}(b^n-1) - n > 0. Merci !

Posté par
carpediemre : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 20:25

attention : il faut préciser pourquoi b^k \ge b aussi

de rien

Posté par
larrechre : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 20:47

Bonjour,

On pet aussi "distribuer" le n et l'expression s'écrit

(b-1)+(b^2-1)+...+(b^{n-1}-1)+(b^n-1)

et comme b>1, chaque terme est positif.

C'était le sens de ma remarque.

Posté par
larrechre : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 20:48

On peut...pardon

Posté par
Picarresur6re : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 21:40

carpediem @ 25-04-2023 à 20:25

attention : il faut préciser pourquoi b^k \ge b aussi

de rien



C'est vrai, il faut préciser k \in \mathbb{N}^* pour compléter la preuve.

larrech @ 25-04-2023 à 20:47

Bonjour,

On pet aussi "distribuer" le n et l'expression s'écrit

(b-1)+(b^2-1)+...+(b^{n-1}-1)+(b^n-1)

et comme b>1, chaque terme est positif.

C'était le sens de ma remarque.


Vous avez raison, je n'avais pas pensé à ça non plus !

Posté par
carpediemre : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 21:46

Picarresur6 @ 25-04-2023 à 21:40

C'est vrai, il faut préciser k \in \mathbb{N}^* pour compléter la preuve.
non ce n'est pas le bon argument

larrech : bien vu, je n'avais pas compris ton idée

Posté par
Picarresur6re : Inégalité à deux variables 25-04-23 à 22:48

Ah, je ne vois pas ce qu'il faut rajouter alors

Posté par
carpediemre : Inégalité à deux variables 26-04-23 à 08:34

inutile de citer les meg, ça rallonge inutilement les fils !!

certes k € N mais surtout b > 1 donc b^k > b

Posté par
Picarresur6re : Inégalité à deux variables 26-04-23 à 12:44

C'est vrai, merci.

J'aurais une dernière question. Afin de prouver l'affirmation suivante :
\forall b,n \in \{x \in \mathbb{N} | x \geq 2\}, \frac{b}{b-1}(b^n - 1) - n < 2 \times b^n
j'ai utilisé le raisonnement suivant :

\frac{b}{b-1}(b^n - 1) - n  = \frac{b}{b-1}b^n - \frac{b}{b-1} - n

b \geq 2 \Rightarrow \frac{b}{b-1} < 2 \Leftrightarrow \frac{b}{b-1}(b^n) < 2 \times b^n Aussi :
b \geq 2 \Leftrightarrow  - \frac{b}{b-1} < 0, n \geq 2 \Leftrightarrow - n < 0

\frac{b}{b-1}b^n - 2 \times b^n < 0 \Leftrightarrow \frac{b}{b-1}(b^n - 1) - n - 2 \times b^n < 0
CQFD.

Y aurait-il un moyen de le rendre plus élégant, en évitant de multiplier les déductions à partir de la définition de b et n ?

Posté par
carpediemre : Inégalité à deux variables 26-04-23 à 18:09

attention à ne pas utiliser des équivalences qui n'en sont peut-être pas surtout quand des implications suffisent

ouais on peut quand même le rédiger plus simplement en s'évitant les évidence sur les nombres négatifs

1/ je donne les arguments :

on garde la majoration par 2 du coefficient b/(b - 1) (qui est peut-être à justifier plus en détail) et   b^n - 1 \le b^n $ et $ n \ge 0 $ donc $ -n \le 0

2/ on a ensuite directement  :

donc    \dfrac b {b - 1} (b^n - 1) - n \le 2(b^n - 1) - n \le 2b^n - n \le 2b^n


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