Fiche de mathématiques
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Arithmétique

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I. Divisibilité et Congruences

1. Divisibilité

Définition
b \neq 0 est un diviseur de a s'il existe un entier relatif k tel que a = kb
On dit également que b divise a ou que a est un multiple de b.
On note b|a


Division euclidienne dans Z
On considère a un entier relatif et b entier naturel différent de 0.
Il existe un unique couple (q ; r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} tel que a = bq + r avec 0 \leq r < b
q est le quotient et r le reste de la division de a par b.



2. Critères de divisibilité

Pour qu'un nombre entier soit divisible par :
2, il faut et il suffit que le chiffre des unités soit 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8,
10n, il faut et il suffit que ce nombre se termine par n zéros,
4 ou 25, il faut et il suffit que le nombre formé par les deux derniers chiffres soit divisible par 4 ou 25,
8 ou 125, il faut et il suffit que le nombre formé par les trois derniers chiffres soit divisible par 8 ou 125,
3 ou 9, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 3 ou 9,
5, il faut et il suffit que ce nombre se termine par 0 ou 5,
11, il faut et il suffit que la différence entre la somme des chiffres de rang pair et celle de rang impair soit un multiple de 11.

Exemples d'application :
    Exemple 1 :
Quelles sont les valeurs de l'entier relatif n pour lesquelles la fraction \dfrac{3n+8}{n+4} représente un entier relatif ?
Cette fraction a un sens si n + 4 \neq 0, soit n \neq -4.
On constate que 3n + 8 = 3(n + 4) - 4
n + 4 divise 3(n + 4), donc n + 4 divise 3n + 8 si n + 4 divise -4.
Les diviseurs de -4 sont 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 4 ; -4.
Il faut que n + 4 \in \lbrace -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 \rbrace ce qui entraîne que n \in \lbrace -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0 \rbrace
On vérifie que -4 n'appartient pas à {-8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0} avant de conclure.
Conclusion : la fraction \dfrac{3n+8}{n+4} représente un entier relatif pour les valeurs de l'entier relatif n : -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0.

    Exemple 2 :
Démontrer que tous les nombres dont l'écriture décimale est \overline{abcabc} avec a~;~b~;~c \in \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; ... ; 9 \rbrace sont divisibles par 7 ; 11 et 13.
On a \overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1000 + \overline{abc} \times 1
Donc \overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1001 = \overline{abc} \times 7 \times 11 \times 13
\overline{abc}, 7 et 11 sont des nombres entiers; leur produit aussi.
13 est donc un diviseur de \overline{abc}. Il en de même pour 7 et 11.
La conclusion en découle.

    Exemple 3 :
Montrer que pour tout entier naturel n,3 divise 4^n - 1.
On va utiliser une démonstration par récurrence.
On note P(n) la propriété : "3 divise 4^n-1".
Pour n = 0 : 40 - 1 = 1 - 1 = 0 est divisible par 3, donc P(0) est vraie.
On suppose P(n) vraie ce qui se traduit par : il existe un entier naturel k tel que 4^n - 1 = 3k, donc 4^n = 3k + 1
Au rang n + 1 : 4^{n+1} - 1 = 4 \times 4^n - 1 = 4 \times (3k + 1) - 1 = 4 \times 3k + 4 \times 1 - 1 = 4 \times 3k + 3 = 3(4k + 1)
Conclusion : D'après le principe de récurrence : pour tout entier naturel n, 3 divise 4^n - 1.

3. Congruences

Définition
Soit n \in \mathbb{N}, a est congru à b modulo n s'il existe un entier k tel que a = b + kn.
On le note a \equiv b [n]


Exemple :
38 \equiv3 [5] car 38 = 7 × 5 + 3
Propriétés
a ~,~ b ~,~ c ~,~ d sont des entiers relatifs. n est un entier naturel différent de 0.
a \equiv b~[n] \iff b \equiv a~[n]
Si a \equiv b~[n] et b \equiv c~[n], alors a \equiv c~[n]
Si a \equiv b~[n], alors a + c \equiv b + c~[n] \text{ et } ac \equiv bc~[n]
Si a \equiv b~[n] \text{ et } c \equiv d~[n], alors a + c \equiv b + d~[n] \, \, ; \, \, a - c \equiv b - d~[n] \, \, \text{ et } \, \, ac \equiv bd~[n]
Si a \equiv b~[n], alors a^p \equiv b^p ~[n] (p désigne un entier naturel).


Remarque :
On ne peut pas diviser une congruence (ac \equiv bc~[n] n'implique pas a \equiv b~[n]).

Exemples d'application :
    Exemple 1 : Déterminer les restes de la division euclidienne pour n \in \mathbb{N} de 3^n par 7.
Il est bon de rappeler que pour tout x \in \mathbb{Z}, r est le reste de la division euclidienne de x par 7 si r \in \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 \rbrace et x \equiv r~[7]
On dresse le tableau qui permet de montrer les restes modulo 7 des premières puissances de 3 :
30 31 32 33 34 35 36
1 3 2 6 4 5 1

Pour tout k \in \mathbb{N}, 3^{6k} \equiv (3^6)^k \equiv 1~[7]
Soit n \in \mathbb{N}, il existe (q~;~r) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} tel que n = 6q + r avec 0 \leq r < 6
r \in \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 \rbrace et comme 3^n = 3^{6q+r} = (3^6)^q \times 3^r, on a :
3^n \equiv 3^r ~[7]
Si n = 6q, on a : 3^n \equiv 1~(7) : le reste est 1.
Si n = 6q + 1, on a : 3^n \equiv 3(7) : le reste est 3.
Si n = 6q + 2, on a : 3^n \equiv 2(7) : le reste est 2.
Si n = 6q + 3, on a : 3^n \equiv 6(7) : le reste est 6.
Si n = 6q + 4, on a : 3^n \equiv 4(7) : le reste est 4.
Si n = 6q + 5, on a : 3^n \equiv 5(7) : le reste est 5.

    Exemple 2 : Déterminer les restes de la division euclidienne par 7 de 1515^{2000}
1515 = 7 × 216 + 3, donc 1 515 \equiv3 (7).
Donc, pour tout n \in \mathbb{N} \, , \, 1515^n \equiv 3^n
Pour n = 2000, on effectue la division euclidienne de 2000 par 6 : 2 000 = 6 × 333 + 2.
Précédemment, on a vu que 3^{2000} \equiv 2(7)
Donc 1515^{2000} \equiv 2(7)
Le reste de la division euclidienne de 1515^{2000} par 7 est 2.

    Exemple 3 : Déterminer l'ensemble des entiers naturels x tels que 2^x \equiv x^2 (modulo 9).
Il suffit d'examiner les valeurs possibles pour 2^x et x^2 (modulo 9) en dressant le tableau suivant :
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2^x 1 2 4 8 7 5 1 2 4
x^2 0 1 4 0 7 7 0 4 1

Le tableau montre que pour 2^x la "période" des restes modulo 9 est de 6 et pour x^2 cette "période" est de 9. Le ppcm de 6 et 9 est 18.
On en déduit pour tout x \in \mathbb{N} \, : \, 2^x \equiv x^2 (modulo 9) si : x \equiv 2~(18) \text{ ou } x \equiv 4~(18)
L'ensemble des entiers naturels tels que 2^x \equiv x^2 (modulo 9) est : 18k+2 ~;~ 18k + 4 avec k \in \mathbb{N}

    Exemple 4 : Une équation diophantienne
Résoudre l'équation (E) d'inconnues (x ~;~ y) \in \mathbb{Z} \, : \, 405x - 120y = 15
1ère étape: on cherche une solution particulière en faisant appel à l'algorithme d'Euclide
405 = 120 × 3 + 45 (1)
120 = 45 × 2 + 30 (2)
45 = 30 × 1 + 15 (3)
30 = 15 × 2 + 0 (4)
Le dernier reste non nul est le pgcd des 2 nombres, donc pgcd(405 ; 120) = 15.
On pourra exprimer 15 en fonction de 405 et 120 en remontant de la division (3) à la division (1).
15 = 45 - 1 × 30 d'après (3).
15 = 45 - 1 × (120 - 2 × 45) d'après (2).
15 = 405 - 3 × 120 - 1 × (120 - 2 × (405 - 3 × 120)) d'après (1).
Soit 15 = 3 × 405 - 10 × 120
On tire x = 3 et y = 10.

2ème étape : la solution générale en utilisant la solution particulière et le théorème de Gauss
405x - 120y = 405 \times 3 - 10 \times 120 \\ \iff 405(x - 3) = 120(y - 10)\\ \iff 27(x - 3) = 8(y - 10)

27 et 8 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 27 divise y - 10, donc il existe k \in \mathbb{Z} tel que :
y - 10 = 27k soit y = 27k + 10
De même, x - 3 = 8k donc x = 8k + 3
Réciproquement, si x = 8k + 3 et y = 27k + 10, alors 405x - 120y = 15
Conclusion : l'ensemble solution de (E) est : x = 8k + 3 \, ; \, y = 27k + 10 \text{ avec } k \in \mathbb{Z}


II. PPCM et PGCD - Nombres premiers

1. PPCM et PGCD

PDCG de deux entiers
Soient a et b deux entiers relatifs différents de 0.
L'ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément d noté pgcd(a ; b).


Exemple : PGCD(9 ; 15) = 3
PPCM de deux entiers
Soient a et b deux entiers relatifs différents de 0.
L'ensemble des multiples strictement supérieurs à 0 communs à a et b admet un plus petit élément m noté PPCM(a ; b).


Exemple : PPCM(6 ; 4) = 12
Nombres premiers
Un entier naturel n est premier si et seulement si il possède exactement deux diviseurs : 1 et n.


Les nombres 0 et 1 ne sont pas premiers. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

Exemple : 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19 sont premiers.
Critère de primalité
Un entier naturel n est premier si et seulement si il n'est pas divisible par un nombre premier compris entre 2 et \sqrt{n}


Exemple :
137 est un nombre premier car \sqrt{137} \approx 11,7 \text{ à } 10^{-1} \text{ près }
On remarque que 2, 3, 5, 7, 11 ne divisent pas 137.

Exemples d'application :
      1er exemple : Calculer PGCD(120 , 88) en utilisant trois méthodes différentes
1ère méthode : Ecrire la liste des diviseurs de 120 et celle de 88.
Diviseurs de 120 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Diviseurs de 88 : 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.
On en déduit que PGCD(120 , 88) = 8.

2ème méthode : par l'algorithme d'Euclide
120 = 88 × 1 + 32
88 = 32 × 2 + 24
32 = 24 × 1 + 8
24 = 8 × 3 + 0
Le dernier reste non nul (8) constitue le PGCD des deux nombres. On a donc PGCD(120 ; 88) = 8.

3ème méthode : On utilise la décomposition en produit de de facteurs premiers
120 = 23 × 3 × 5
88 = 23multiplie11
Donc PGCD(120 , 88) = 23 = 8

Remarques :
- On prend tous les termes communs affectés du plus faible coefficient.
- Cette dernière méthode est peu pratique si les entiers sont grands car la décomposition en facteurs premiers se révèle difficile à faire. Il semble préférable d'employer l'algorithme d'Euclide.


      2ème exemple : Soit n \in \mathbb{N}. On pose d = \text{PGCD}(2n+8 ~;~3n+15)
a) Montrer que d divise 6.
b) Déterminer l'ensemble S des entiers relatifs tels que d = 6.

a) On constate que 2n + 8 = 0 pour n = -4 et que 3(-4) + 15 = 3 \neq 0. On en conclut que 2n + 8 et 3n + 15 ne sont pas nuls simultanément. Par conséquent le PGCD a un sens.
d = \text{PGCD}(2n+8~;~3n+15) divise 2n + 8 et 3n + 15.
Donc d divise 2 \times (3n + 15) - 3(2n + 8) = 6n + 30 - 6n - 24 = 6

b) d = 6 si 2n + 8 \equiv 0 (modulo 6) et 3n + 15 \equiv 0 (modulo 6).
On dresse le tableau des différentes valeurs prises par 2n + 8 et 3n + 15 modulo 6.

n 0 1 2 3 4 5
2n+8 2 4 0 2 4 0
3n+15 3 0 3 0 3 0


Ainsi d = 6 si n \equiv 5 (modulo 6) soit S = \lbrace 6k + 5 ~;~ k \in \mathbb{Z} \rbrace


      3ème exemple : Soient a et b deux entiers naturels différents de 0; d est leur PGCD et m leur PPCM.
Trouver l'ensemble des couples (a~;~b) d'entiers naturels non nuls qui vérifient la relation : 2m + 5d = 123.

d divise m; or d divise d, donc d divise 2m + 5d = 123 = 3 \times 41 avec 3 et 41 des nombres premiers.
Les différentes valeurs de d sont : 1, 3, 41 et 123.
On sait que d \leq m, donc 2d + 5d \leq 2m + 5d, d'où 7d \leq 123, soit d \leq 17. Les valeurs de 41 et 123 sont à éliminer.
On suppose a \leq b.
Si d = 1 : 2m + 5 \times 1 = 123 soit 2m = 118 soit m = 59
\text{PGCD}(a~,~b) = 1 et \text{PPCM}(a~,~b) = 59 soit ab = 59 (car \text{PGCD}(a~,~b) \times \text{PPCM}(a~,~b) = a \times b).
Par un raisonnement identique et en prenant pour d = 3, on trouverait a = 3 et b = 54 et a = 6 et b = 27.
Par symétrie si a \geq b on a les couples suivants :
(1 ; 59) ; (59 ; 1) ; (3 ; 54) ; (54 ; 3) ; (6 ; 27) ; (27 ; 6).

2. Nombres premiers entre eux

a et b premiers entre eux (on dit aussi étrangers)
\iff \dfrac{a}{b} est irréductible
\iff \text{pgcd}(a~;~b) = 1
\iff il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.



Application :
Soit n \in \mathbb{N}. Démontrer que 2n + 3 et n + 1 sont premiers entre eux.
On cherche deux entiers u et v tels que u(2n + 3) + v(n + 1) = 1.
Pour les trouver, on essaye d'éliminer n dans la relation u(2n + 3) + v(n + 1).
On prend u = 1 et v = -2 ; on a : (2n+3) \times 1 + (n+1) \times (-2) = 2n+3-2n-2 = 1
Conclusion : 2n+3 et n+1 sont premiers entre eux.


III. Les théorèmes de Bézout et de Gauss ; le petit théorème de Fermat

Théorème de Bézout
Soient a et b deux entiers non nuls.
Il existe deux entiers u et v tels que au + bv = PGCD(a ; b).
(En particulier, si a et b sont premiers entre eux : au + bv = 1 ; c'est l'égalité de Bézout)


Théorème de Gauss
Soient a, b et c trois entiers non nuls.
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.


Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier.
Pour tout entier relatif a non divisible par p, on a : a^{p-1} \equiv 1 (modulo p)


Corrolaire
Soit p un nombre premier.
Pour tout entier relatif a, on a : a^p \equiv a (modulo p)


1er exemple :
Soit n \in \mathbb{N}.
a) Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que : (6n+10)u + (2n+3)v = 1.
b) En déduire que 6n+10 et 2n+3 sont premiers entre eux.
c) Prouver que la fraction \dfrac{3n+4}{5n+7} est irréductible.

a) On a (6n+10)-3 \times (2n+3)=1, donc u = 1 \text{ et } -3. Ces deux valeurs conviennent.
b) D'après la question précédente et en vertu du théorème de Bézout, on peut affirmer que 6n + 10 et 2n + 3 sont premiers entre eux.
c) Pour tout n \in\mathbb{Z}, on a : 3(5n+7) - 5(3n+4) = 1. On a trouvé u = 3 et v = -5 tels que (5 n + 7)u + (3n + 4)v = 1. D'après le théorème de Bézout, on peut affirmer que, pour tout n \in \mathbb{Z}, 5n+7 et 3n+4 sont premiers entre eux avec 5n+7 \neq 0.
On en conclut que la fraction est irréductible pour tout n \in \mathbb{Z}.

2ème exemple :
On considère l'équation 3x^3 + x^2 + 4x - 4 = 0 \, \, (1)
On suppose que la solution de cette équation est rationnelle et qu'elle appartient à ]0 ; 1[.
On peut donc l'écrire sous forme irréductible x = \dfrac{p}{q} \text{ avec } p \in \mathbb{N}\backslash{0} \text{ et } q \in \mathbb{N}\backslash{0}
Donner les différentes valeurs possibles pour la fraction \dfrac{p}{q}
x = \dfrac{p}{q} est solution de (1) donc 3\left(\dfrac{p}{q}\right)^3 + \left(\dfrac{p}{q}\right)^2 + 4 \left(\dfrac{p}{q}\right) - 4 = 0
Par multiplication par q^3, on trouve : 3p^3 + p^2 q + 4pq^2 - 4q^3 = 0     où p \left(3p^2 + pq + 4q^2 \right) = 4q^3 avec l'expression entre parenthèse qui appartient à \mathbb{Z}
p divise 4q^3 = 4q^2 \times q
Par hypothèse \dfrac{p}{q} est irréductible donc p est premier avec q.
D'après le théorème de Gauss, p divise 4q^2 et en appliquant à nouveau ce théorème p divise 4q puis que p divise 4.
Par hypothèse x = \dfrac{p}{q} < 1 avec q > 0 et donc p < q.
p divise 4.
Donc p = 1 ~,~2 \text{ ou } 4 et q divise 3, donc q = 1 \text{ ou } q= 3. (En effet, on a également q(p^2 + 4pq - 4q^2 = -3p^3
On en déduit que les valeurs possibles de \dfrac{p}{q} sont \dfrac{p}{q} = \dfrac{1}{3} ou \dfrac{p}{q} = \dfrac{2}{3}.
Après vérification avec l'équation (1), seule la deuxième valeur trouvée est solution, soit \dfrac{2}{3}.

3ème exemple : Quel est le reste de la division euclidienne de 1316 par 17
17 est un nombre premier et 17 ne divise pas 13. Par application du petit théorème de Fermat : 13^{17-1} \equiv 1 \, (17) soit 13^{16} \equiv 1 \, (17).
0 \leq 1 < 17, donc le reste de la division de 1316 par 17 est 1.

4ème exemple :
Soit A = \left(3^{11} + 1\right) \left(3^{11} -1).
Montrer que 23 est un diviseur de A.
A = \left(3^{11}\right)^2 - 1 = 3^{22} - 1 = 3^{23 - 1} - 1.
Le nombre 23 est premier et 23 n'est pas un diviseur de 3, donc par application du petit théorème de Fermat, A est divisible par 23 et par suite 23 est un diviseur de A


IV. Numération

Les chiffres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 permettent d'écrire les nombres dans le système décimal.
Tout nombre N entier en base 10 s'écrit :
N = a_n \times 10^n + a_{n-1} \times 10^{n-1} + ... + a_2 \times 10^2 + a_1 \times 10^1 + a_0     où 0 \leq a_i \leq 9 avec a_i \in \mathbb{N} \text{ et } n \in \mathbb{N}

Système de base b :
Tout nombre N écrit en base b s'écrit dans la base 10 :
N = a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} + ... + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0     où 0 \leq a_i \leq b - 1 avec a_i \in \mathbb{N} \text{ et } n \in \mathbb{N}
Pour b > 10, on note \alpha \, , \, \beta \, , \, \gamma \, , \, \cdtos les chiffres après le chiffre 9.
Pour passer d'un système à l'autre, il est plus facile de revenir en base 10.
On note \overline{abc}^5 par exemple le nombre N en base 5 qui s'écrit : a \times 5^2 + b \times 5 + c en base 10.

Exemple :
Déterminer les entiers naturels a et b tels que \overline{a5b72}^8 = \overline{10bab}^{11}
On doit écrire chacun de ces nombres en base 10 :
a \times 8^4 + 5 \times 8^3 + b \times 8^2 + 7 \times 8 + 2 = 11^4 + b \times 11^2 + a \times 11 + b
Après calcul, on obtient : 4 085a - 58b = 12 023 \, (1)
Sachant que 0 \leq a \leq 7 \text{ et } 0 \leq b \leq 7 car la plus petite base écrite est 8, on cherche à déterminer a et b. (2)
De (1) on tire la valeur de b = \dfrac{4085a - 12023}{58}
D'après (2) on a l'encadrement de b : 0 \leq \dfrac{4085 - 12023}{58} \leq 7 qui, après résolution de ces inégalités donne 2,94 \leq a \leq 3,04.
On choisit donc a = 3. La valeur de b s'en déduit, soit b = 4.

Remarque : Pour trouver a et b, on aurait pu faire appel à la résolution de l'équation diophantienne (1). J'invite le lecteur à appliquer cette méthode qui est toutefois un peu plus longue.

Exercice ouvert qui comporte plusieurs solutions :
Un entier naturel n étant donné, quel est le chiffre des unités de l'écriture décimale de n^5 - n ?

On remarque, en effectuant plusieurs essais que n^5 - n se termine par zéro. On va essayer de le démontrer.
On peut écrire n^5 - n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1). Cette écriture appelle à deux remarques :
- le produit est pair car n et n + 1 sont deux entiers consécutifs.
- de plus les naturels 2 et 5 sont premiers entre eux.
Donc pour démontrer que n^5 - n est divisible par 10, on doit démontrer uniquement qu'il est divisible par 5.
On va se servir de quatre méthodes différentes.

    1ère Méthode : par récurrence
Pour n = 0 : vraie
Supposons que la relation soit vraie au rang n, soit : n^5 - n = 5k \, (k \in \mathbb{N})
Démontrons qu'elle est vraie au rang n + 1, soit (n + 1)^5 - (n + 1) est un multiple de 5.
On a (n + 1)^5 - (n + 1) = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 - n - 1
(n + 1)^5 - (n + 1) = n^5 - n + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n) = 5k + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n). Cette dernière expression montre que la relation est vraie au rang n+1.
Le principe de récurrence permet de conclure.

    2ème méthode : les congruences
On étudie les valeurs possibles pour le reste dans la division euclidienne de n par 5.
Si n \equiv 0 \, (5), \, \,  n^5 - n \equiv 0 \, (5)
Si n \equiv 1 \, (5), \, \, n^5 \equiv 1 \, (5) donc n^5 - n \equiv 0 \, (5)
Si n \equiv 2 \, (5), \, \, n^5 \equiv 2 \, (5) donc n^5 - n \equiv 0 \, (5)
Si n \equiv 3 \, (5), \, \, n^5 \equiv 3 \, (5) donc n^5 - n \equiv 0 \, (5)
Si n \equiv 4 \, (5), \, \, n^5 \equiv 4 \, (5) donc n^5 - n \equiv 0 \, (5)
La conclusion est immédiate.

    3ème méthode : factorisation de n^5 - n
n^5 - n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)
Si n \equiv 0 \, (5) alors n^5 - n \equiv 0 \, (5)
Si n \equiv 1 \, (5) alors n - 1 \equiv 0 \, (5) alors n^5 - n \equiv 0 \, (5)
Si n \equiv 2 \text{ ou } n \equiv 3 \, (5) alors n^2 + 1 \equiv 0 \, (5) alors n^5 - n \equiv 0 \, (5)
Si n \equiv 4 \, (5) alors n + 1 \equiv 0 \, (5) alors n^5 - n \equiv 0 \, (5)
La conclusion en découle.

    4ème méthode : on utilise le petit théorème de Fermat
n^5 - n = n(n^4 - 1)
Si n \equiv 0 \, (5), on a n^5 - n \equiv 0 \, (5)
Si n n'est pas congru à zéro (5) comme 5 est premier, n est premier avec 5. D'après le petit théorème de Fermat : n^{5-1} - 1 est divisible par 5.
On a donc n^5 - n \equiv 0 \, (\text{modulo } 5)
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