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Inequation a 3 variables

Posté par
Pyro96
27-11-22 à 17:13

Bonjour, j'ai ici un exercice que j'ai passe trois heures a chercher une reponse, mais sans resultat.
Soient x, y, z trois nombres reels strictements positifs tels que:
x+y+z=1
Montrer que:

 \sqrt{\frac{xy}{z+xy}} + \sqrt{\frac{yz}{x+yz}} +\sqrt{\frac{xz}{y+xz}} \leq \frac{3}{2}

Posté par
carpediem
re : Inequation a 3 variables 27-11-22 à 17:31

salut

tu peux déjà remarquer que x, y et  z appartiennent à l'intervalle ]0, 1[

ensuite xy + z = xy + 1 - x - y = (1 - x)(1 - y)   donc   \dfrac {xy} {xy + z} = \dfrac {xy} {(1 - x)(1 - y)}

mais bon je ne sais pas encore si ça fait avancer le schmilblick !!

Posté par
Pyro96
re : Inequation a 3 variables 27-11-22 à 17:39

cela fait parti de ce que j'ai deja essaye sauf que je n'arrive a rien

Posté par
carpediem
re : Inequation a 3 variables 27-11-22 à 17:53

autre chose :

xy = xy + z - z = xy + z - (1 - x - y)   donc   \dfrac {xy} {xy + z} = 1 - \dfrac {1 - x - y} {xy + z} \le 1 - \dfrac {1 - x - y} {xy}

mais bon je ne sais toujours pas si ça fait avancer le schmilblick !!



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