il manque des solutions x<=-2*sqrt(2)

Voila mon résonnement au brouillon ( solution en bas de page à droite ) :

la condition 2x-5>=0 n'a pas à figurer au début
en effet une racine est supérieure à un nombre négatif
autrement dit les x tels que 2x-5<=0 et x^2>=8 sont solutions

Donc tout mon résonnement est faux sur ma feuille ?

Enfin, nous c'est comme ça qu'il nous a apprit à faire notre professeur au lycée.

tu as dû faire quelque chose qui ressemble.
tu oublies juste une partie des solutions
sqrt(x^2-8)>=2x-5
(x^2-8>=0 et 2x-5<=0) ou (x^2-8>=(2x-5)^2 et 2x-5>=0)
essaie de continuer ...

Mais le -22 n'est pas à prendre vu qu'il faut que x -5/2 donc on barre tout se qui est inférieur à -5/2 sur la droite qui va de - à + .
En conclusion le  -22 est barré et ne fait pas partie des solutions ?

en fait il faut envisager deux cas x<=5/2 et x>=5/2

sqrt(x^2-8)>=2x-5
(x^2-8>=0 et 2x-5<=0) ou (x^2-8>=(2x-5)^2 et 2x-5>=0)
(x<=-2*sqrt(2) ou x>=2*sqrt(2) et x<=5/2) ou (3<=x<=11/3 et x>=5/2)
(x<=-2*sqrt(2)) ou (3<=x<=11/3)

si tu fais le graphe de sqrt(x^2-8)-2x+5 tu auras une confirmation, l'ensemble des solutions est la réunion de deux intervalles disjoints.

Mais je comprend pas pourquoi il faut faire 2 cas, car il y en a où 1 seul cas suffit pour résoudre comme pour 4-x = 2-x.

Comment on sait s'il faut faire 2 cas s'il vous plait ?

ou comme 4-x^2 = 2x

Bien vu !!
a priori on peut aussi envisager deux cas:
1/ 2-x<0 inutile d'aller plus loin car une racine ne peut pas être strictement négative.
Dans ton exercice il faut envisager le cas 2x-5<=0 car une racine est supérieure à un nombre négatif et donc ce cas fournit des solutions
2/ 2-x>=0 qui donne 4-x=(2-x)^2

Pour cette équation on a donc l'équivalence:
sqrt(4-x)=2-x
4-x=(2-x)^2 et 2-x>=0   (tu remarqueras que la condition 4-x>=0 est inutile)

Parce que lors de la correction , notre professeur nous a donné qu'un seul cas pour les 2 dernières donc faut-il envisagé qu'il a pas voulu nous embrouiller ?

Je peux donc en déduire qu'à chaque fois que j'ai une inéquation / équation irrationnelle avec une racine d'un côté et sans racine de l'autre, il y a toujours 2 cas ? si Oui , notre professeur nous en a pas parlé pourquoi ? Surtout que ça commence à me faire stresser ^' parce que s'il faut 2 cas et que j'en oublie 1 j'aurais une mauvaise note ( en même temps il nous a pas parlé vous me direz ^^ ).

pour résoudre une équation du type sqrt(A)=B c'est simple cette équation est équivalente à (A=B^2 et B>=0)

pour sqrt(A)<=B ou sqrt(A)>=B il vaut mieux raisonner à chaque fois sur le signe de B.

D'accord merci bien .
Mais comment je fais en controle si on a ça vu qu'on a jamais vu cela en cours :s ?

il arrive qu'un professeur donne des exercices de recherche qui ne ressemblent pas à des exercices déjà vus. Il faut réfléchir et utiliser des méthodes connues
pour sqrt(A)<=B ou sqrt(A)>=B je dirais (A>=0 bien entendu)
1/ regardons ce qui se passe si B>=0
2/ regardons ce qui se passe si B<=0
ensuite on réunit les solutions obtenues

personnellement je recommande l'utilisation de la calculatrice ou d'un logiciel (Xcas par exemple) pour avoir le graphe et une idée des solutions.

Mais quand je rentre ça sur ma calculatrice TI 83+, elle affiche une droite avec un tout petit d'un sommet au dessus des x. Enfin c'est bizarre comme représentation graphique :/

c'est un pb de réglage de fenêtre
il y a un morceau sur -5;-2 par exemple qui n'est pas une droite
et un morceau sur 2;5 par exemple