Inscription / Connexion Nouveau Sujet
inéquations avec a, b et c
Salut
Mon professeur m'a donnée cet exercice à faire chez moi. Ça fait maintenant 3 jours que je réfléchis sur la 2 éme question, mais en vain, j'espère que vous pourrez m'aider.
Soient a, b et c trois nombres qui appartiennent à IR*+
1) Mq
a (carré )+b (carré) +c (carré)>= ab+ac+bc
2) Mq
a ( au cube)/bc+b ( au cube)/ac+ c (au cube)/ab>=a+b+c
solution
1)2 (a (carré )+b (carré)+c (carré )-ab-ac-bc)=a(carré ) +b (carré )-2ab+a ( carré )+c ( carré )-2ac+b ( carré )+ c ( carré ) - 2bc=(a-b)( carré ) + (a-c)( carré)+(b-c)( carré) >=0
donc
a ( carré ) + b ( carré ) + c ( carré ) - ab-ac-bc>=0
donc
a ( carré ) + b ( carré ) + c ( carré ) > = ab + ac + bc
Merci de m'aider sur la 2 éme question.
Hello,
En effet tu obtiendrais a^4 +b^4+c^4.
Je n'ai pas le temps d'approfondir le calcul mais as-tu essaye de mettre la 1ere inegalite au carre ?
D'accord voilà
On va noté
X=a^3/bc+b^3/ac+c^3/ab
X=a^4+b^4+c^4
Et on a
a^4+b^4>=2×a^2×b^2
b^4+c^4>=2×b^2×c^2
a^4+c^4>=2×a^2×c^2
donc
2 (a^4+b^4+c^4)>= 2 (a^2×b^2+a^2×c^2+b^2×c^2)
donc
X=a^4+b^4+c^4>=a^2×b^2+a^2×b^2+b^2×c^2>=a+b+c
C'est correct? ??
Ca ne va pas, tes deux valeurs de X ne sont pas egales. C'est (a^4+b^4+c^4)/abc.
Et comment obtiens-tu la derniere inegalite ?
Oh! Oui vous avez raison
donc on a( en simplifiant par 2)
a^4+b^4+c^4>=a^2×b^2+a^2×c^2+b^2+c^2=(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2
Selon la 1ere question on a
(ab)^2+(ac)^2+(bc) 2>=a^2×bc+ab^2×c+abc^2=abc (a+b+c)
Et parsuite
X=(a^4+b^4+c^4)/abc>=abc (a+b+c)/abc
donc X>=a+b+c
et maintenant c'est pas correct? ??
On a donc
a4 + b4 + c4 
a²b² + a²c² + b²c² .
Applique alors un traitement analogue sur le second membre en utilisant des inégalités du type
a²b² + a²c² 2a²bc .
Ma réponse!
J'ai pu démontrer que X>=a+b+c mais je ne sais pas si la démarche est correcte ou pas.
Merci de m'aider
Tu ne peux pas faire ce que je t'ai suggéré à 13h57 ? C'est une procédure semblable à celle que tu as déjà effectuée.
d'accord on a donc
a^4 + b^4 + c^4>= a²b² + a²c² + b²c²
et a²b² + a²c² >= 2a²bc
a²b² +b²c² >=2ab²c
a²c² + b²c² >=2abc²
donc
a²b² + a²c² +a²b² +b²c²+a²c² + b²c² >= 2a²bc+ 2ab²c+2abc²
2(a²b² + a²c² + b²c² )>=2(a²bc+ ab²c+abc²)
a²b² + a²c² + b²c² >=a²bc+ ab²c+abc²
a²b² + a²c² + b²c²>=abc(a +b +c )
donc a^4 + b^4 + c^4>=abc(a +b +c )
et puis (a^4 + b^4 + c^4)/abc>=abc(a +b +c )/abc
or X=(a^4 + b^4 + c^4)/abc
donc X>= a +b +c
et maintenant?
On demande de démontrer a³/bc + b³/ac + c³/ab a + b + c .
En mettant au même dénominateur, cette inégalité s'écrit
(a4 + b4 + c4)/abc a + b + c , soit
a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) .
C'est justement ce que tu viens de démontrer.
Annuler
connectez vous