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Intégration dans le plan complexe

Posté par
Mayssam 11-06-18 à 11:30

Bonjour,

Je bloque à un exercice concernant le calcul d'intégrale grâce au théorème des résidus.

Voici l'énoncé:
Le but de cet exercice est de calculer l'intégrale
I = intégrale(de 0 à infini) f(x)dx  avec f(x) = 1/ (x*3 +a*3) ( a>0) par la méthode des résidus tout en considérant un contour fermé judicieusement choisi dans le plan complexe.
La fonction f n'étant ni paire, ni impaire, on ne peut pas étendre l'intégrale par symétrie à une intégrale sur R.Pour appliquer le théorème des résidus il faut donc considérer un autre contour fermé que celui donné par un demi-cercle dans le plan complexe supérieur.

1° Déterminer les singularités de la fonction f dans le plan complexe, puis faire un dessin montrant la localisation de ces singularités


Pour la question 1, j'ai déterminé les points singuliers ( Je trouve z= a exp(ipi/3+2kpi)  mais mon souci est le suivant: comment déterminer de façon la plus judicieuse possible le contour fermé sur lequel nous allons intégrer?

D'après mon cours:
- Le contour fermé ne doit pas passer par les pôles singuliers
- doit contenir le domaine d'intégration
- doit être le plus simple possible

Si quelqu'un peut m'aider pour cette exercice svp, déjà pour la question 1.

Merci

Posté par
SkyMtnre : Intégration dans le plan complexe 11-06-18 à 11:48

Bonjour. Tu remarqueras qu'il y a une singularité sur l'axe réel... donc si tu choisies un contour avec un demi-cercle, tu vas devoir esquiver la singularité avec un petit demi-cercle.

Ou bien, tu remarques que c'est la puissance impaire qui gène, et tu effectues un petit changement de variable en x² et ensuite tu calcules l'intégrale avec les résidus sur un segment + demi-cercle.

Posté par
carpediemre : Intégration dans le plan complexe 11-06-18 à 12:23

salut

si on intègre de 0 à +oo et si a > 0 alors il n'y a pas de singularité ...

Posté par
SkyMtnre : Intégration dans le plan complexe 11-06-18 à 12:50

Les singularités se trouvent en -a, a\mathrm e^{i\pi/3} et a\mathrm e^{-i\pi/3}, donc tu peux essayer d'entourer seulement la singularité en a\mathrm e^{i\pi/3} avec le bord d'un secteur.

Tu peux calculer \int\nolimits_0^R \frac{ds}{s^3+a^3}+\int\nolimits_R^{R\mathrm e^{\frac{2i\pi}{3}}} \frac{ds}{s^3+a^3} + \int\nolimits_{R\mathrm e^{\frac{2i\pi}{3}}}^0 \frac{ds}{s^3+a^3} = \underset{{\mathrm e^{i\pi/3}} }{\mathrm{Res}}\frac{2\pi i}{s^3+a^3} en intégrant sur le segment [0,R] puis sur l'arc de cercle de rayon R (assez grand) joignant R et \mathrm e^{\frac{2i\pi}{3}}, puis tu repars vers 0 avec un segment.

Posté par
Mayssamre : Intégration dans le plan complexe 11-06-18 à 20:35

Merci pour votre réponse. Je bloque à cette question également

Pour R >a, on considère le contour fermé C = C1 (R) U C2(R) U C3(R)
C2 (R) = ( Re^{i\theta } tel que 0\leq \theta \leq 2pi/3

4) Paramétrer la courbe C2(R) et vérifier explicitement que \int_{C2(R)}^{}{f(z)dz}  tend vers zéro pour R qui tend vers infini

Merci beaucoup

Posté par
SkyMtnre : Intégration dans le plan complexe 11-06-18 à 20:56

Tu as un paramétrage de la courbe avec R\mathrm e^{i\theta} pour 0\leqslant \theta \leqslant \frac{2\pi}{3}.
Pour montrer que l'intégrale tend vers 0, c'est classique : \big\vert\int\nolimits_\gamma f\big\vert \leqslant (\text{sup de } f \text{ sur }\gamma )\cdot (\text{longueur de }\gamma) !

Posté par
Mayssamre : Intégration dans le plan complexe 12-06-18 à 11:20

Merci !
Pour la dernière question on me demande de paramétrer la courbe C3(R) qui a été définit dans l'énoncé comme
C(R) = rre^{i2pi/3}
avec  0\leq r\leq R

Pour le paramétrage c'est ok

Puis on me demande de montrer que
\int_{C3(R)}^{}{f(z)dz} = -e^{i2pi/3} \int_{0}^{R}{\frac{dt}{(t^{3}+a^{3)}}}

J'ai commencé par faire ceci, mais après je ne vois pas quel changement de variable faire pour aboutir au résultat souhaité

\int_{0}^{R}{\frac{1}{(te^{i2pi/3})^{3}+a^{3}}} = \int_{0}^{R}{\frac{1}{t^{3}e^{i2pi}+a^{3}}}

Merci beaucoup

Posté par
SkyMtnre : Intégration dans le plan complexe 12-06-18 à 12:31

Une paramétrisation possible du chemin est : - t\mathrm e^{2\pi i/3} pour -R\leqslant t \leqslant 0.
L'identité s'obtient simplement en substituant z = - t\mathrm e^{2\pi i/3}, on a dz = -\mathrm e^{2\pi i/3}dt puis

\int\nolimits_{C_3(R)} \frac{dz}{z^3+a^3} = \int\nolimits_{-R}^0 \frac{-\mathrm e^{2\pi i/3}dt}{( - t\mathrm e^{2\pi i/3})^3+a^3} = \mathrm e^{2\pi i/3}\int\nolimits_{-R}^0 \frac{-dt}{( - t)^3+a^3}

Il reste à faire un changement de variable en -t pour terminer

Posté par
Mayssamre : Intégration dans le plan complexe 16-06-18 à 12:10

Merci beaucoup pour votre réponse.

A la dernière question, on me demande
6) En déduire la valeur de l'intégrale recherché I ( que l'on exprimera en terme de a et
sin(\frac{pi}{3}) =\frac{\sqrt{3}}{2}

J'ai obtenue que I = \int_{C3(R)}^{}{f(z)dz} = e^{\frac{2pi}{3}} \int_{0}^{R}{\frac{dT}{^{T^{3}+a^{3}}}
avec T = -t ( cf question précédente)

et après je ne vois pas comment résoudre cette intégrale...
J'ai posé X = T*3 mais je bloque

Merci d'avance

Posté par
SkyMtnre : Intégration dans le plan complexe 16-06-18 à 13:00

Mais à quoi a servi le calcul des résidus, les limites, etc... que dire de

\underset{{\mathrm e^{i\pi/3}} }{\mathrm{Res}}\frac{2\pi i}{s^3+a^3} = \int\nolimits_0^R \frac{ds}{s^3+a^3}+\int\nolimits_{C_3(R)} \frac{ds}{s^3+a^3} + \mathrm e^{2\pi i/3}\int\nolimits_0^{R} \frac{dt}{t^3+a^3} \xrightarrow[R\to\infty]{} (1+\mathrm e^{2\pi i/3}) \int\nolimits_0^\infty\!\!\frac{dt}{t^3+a^3} ?

Posté par
SkyMtnre : Intégration dans le plan complexe 16-06-18 à 13:02

* pardon c'est C2(R) et non C3(R)

\underset{{\mathrm e^{i\pi/3}} }{\mathrm{Res}}\frac{2\pi i}{s^3+a^3} = \int\nolimits_0^R \frac{ds}{s^3+a^3}+\int\nolimits_{C_2(R)} \frac{ds}{s^3+a^3} + \mathrm e^{2\pi i/3}\int\nolimits_0^{R} \frac{dt}{t^3+a^3} \xrightarrow[R\to\infty]{} (1+\mathrm e^{2\pi i/3}) \int\nolimits_0^\infty\!\!\frac{dt}{t^3+a^3}


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