Bonjour toutes les personnes du forum !

Alors moi j'ai tout un exercice à faire pour les vacances, mais je bute sur la dernière question.

Voilà ce que je tire de mon exercice jusqu'à la dernière question:

On considère un cône de révolution C d'équation x^2+z^2-y^2=0 dans l'espace rapporté au repère orthonormal (O;i;j;k), ainsi que le plan P d'équation cartésienne z=1.

OOOn sait que C est parallèle au plan P.

H est l'intersection de C et de P, et Oméga est le point de coordonnées (0;0;1).
Dans le repère (Oméga;i;j), H admet pour équation cartésienne : (Y-X)(Y+X)=1

vecteur u = 1/2(i+j)
vecteur v = 1/2(-i+j)
Un point M de P admet pour coordonnées (X;Y) dans (Oméga;i;j) si, et seulement si il admet pour coordonnées (Y+X;Y-X) dans (Oméga;u;v)

et ovoilà ma question :
Préciser une équation cartésienne de H dans le repère (Oméga;u;v) et en déduire que la courbe H est une hyperbole.

J'ai une remarque pour cette question : " on peut démontrer que l'intersection d'un cône de révolution avec un plan parallèle à son axe est toujours une hyperbole.
Pour cette raison, une hyperbole est appelée conique, courbe obtenue par intersection d'un ccône de révolution avec un plan"

Est ce que quelqu'un veut bien m'aider s'il vous plait, ça fait trois jours que je cherche et c'est pour un Dm.