Voilà un autre exercice qui me pose problème pour l'intersection de 2 plans... (mon message de 11h06 de ce topic montre un autre exercice d'intersection de 2 plans que je n'arrive pas à résoudre -> Géométrie dans l’espace – intersection de plans)
Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants ? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite D = P (intersection) P'
P: x + y + z + 1 =0
P ': 2x - y + 3z + 2 = 0
On voit bien qu'ils ne sont pas parallèles, donc ils sont sécants... Mais comment trouver la droite D d'intersection des 2 plans
Merci d'avance pour votre aide!
Exact.
Donc, essaie de montrer que ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires (je t'ai expliqué comment faire hier soir)
Et donc, s'ils ne sont pas colinéaires, cela voudra dire que les 2 plans ne sont pas parallèles, donc qu'ils sont sécants ...
Je t'explique comment faire ...
Soit Vp et Vp' les vecteurs normaux aux plans P et P'.
Appelons U un vecteur directeur de la droit D.
Le vecteur U appartient au plan P, donc U et Vp sont orthogonaux, donc le produit scalaire U.Vp est nul.
Le vecteur U appartient au plan P', donc U et Vp' sont orthogonaux, donc le produit scalaire U.Vp' est nul.
En prenant U(a;b;c), et en écrivant les 2 produits scalaires, cela te donnera 2 équations avec a, b et c pour inconnues ...
Voyons voyons...
a = - 4b
c = 3b
Donc, par exemple, on a : vecteur u (-4 ; 1 ; 3)
C'est correct?
Donc:
Eq paramétriques de D:
x = xA + k.(-4)
y = yA + k.(1)
z = zA + k.(3)
avec A(xA;yA;zA) apartenant à D
?
Pour trouver un point de la droite, il te suffit de prendre un point qui appartient aux 2 plans, donc dont les coordonnées vérifient les 2 équations des 2 plans.
Tu prends x=1 par exemple, puis tu cherches y et z ...
Ah d'accooord... mille mercis ^^
Alors, j'ai trouvé: A ( 1 ; -1/2 ; -3/2)
Ce qui fait:
Eq paramétriques de D
x = 1 + k.(-4)
y = -1/2 + k.(1)
z = -3/2 + k.(3)
C'est bon?
Au fait, j'ai 3 autres exercices comme celui-là, je vais les faire tout de suite. Est-ce que ça te dérangerai de jeter un coup d'oeil sur mes reponses après pour voir si c'est juste?
Je poste dans environ 10 min.
Merci beaucoup à l'avance!! =)
Voilà voilà...
Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants ? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite D = P (intersection) P'
1)
P: 5x - y - 1 = 0
P': z = 3
J'ai trouvé: ils sont sécants.
vecteur normal à P : v ( 5 ; -1 ; 0)
vecteur normal à P' : v' ( 0 ; 0 ; 1)
D = P (intert) P'
vecteur de D: u (1;5;0)
Pt quelconque de D: A (1;4;3)
Equations paramétriques de la droite D:
x = 1 + k
y = 4 + 5k
z = 3
-------------------------------------------------
2)
P: 2x - z + 1 = 0
P': 4x - 3y + 2z + 5 =0
P et P' sont sécants.
vecteur normal à P : v ( 2 ; 0 ; -1)
vecteur normal à P' : v' ( 4 ; -3 ; 2)
D = P (intert) P'
vecteur de D: u ( 1/2 ; 4/3 ; 1)
Pt quelconque de D: A (1;5;3)
Equations paramétriques de la droite D:
x = 1 + k. 1/2
y = 5 + k.4/3
z = 3 + k
-------------------------------------------------
3)
P: 4x - 6y +8z - 1 = 0
P': -6x + 12y -9z + 11 =0
P et P' sont sécants.
vecteur normal à P : v ( 4 ; -6 ; 8)
vecteur normal à P' : v' ( -6 ; 12 ; -9)
D = P (intert) P'
vecteur de D: u ( -7/2 ; -1 ; 1)
Pt quelconque de D: A ( 1 ; 67/42 ; -11/7)
Equations paramétriques de la droite D:
x = 1 + k.(-7/2)
y = 67/42 + k.(-1)
z = -11/7 + k
Merci pour la future correction!!
Pour le 2 : OK !
Tu peux te "débarasser" des fractions pour le vecteur directeur de la droite, en multipliant tout par 6 :
U(3;8;6)
Pour le 3 :
Ok pour le vecteur directeur, mais pour les coordonnées du point, il me semble que ça ne marche pas (en faisant la vérification dans le système, ça ne colle pas)
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