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Intersection de 2 plans : exercice

Posté par
Yukino
17-06-07 à 11:42

Voilà un autre exercice qui me pose problème pour l'intersection de 2 plans... (mon message de 11h06 de ce topic montre un autre exercice d'intersection de 2 plans que je n'arrive pas à résoudre -> Géométrie dans l’espace – intersection de plans)

Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants ? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite D = P (intersection) P'

P: x + y + z + 1 =0
P ': 2x - y + 3z + 2 = 0


On voit bien qu'ils ne sont pas parallèles, donc ils sont sécants... Mais comment trouver la droite D d'intersection des 2 plans

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 11:44

Bonjour,

peux-tu donner les coordonnées d'un vecteur normal à cahcun des plans P et P' ?

Posté par
Yukino
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 11:46

Vp ( 1 ; 1 ; 1 )
Vp' ( 2 ; -1 ; 3 )

?

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 11:49

Exact.

Donc, essaie de montrer que ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires (je t'ai expliqué comment faire hier soir)

Et donc, s'ils ne sont pas colinéaires, cela voudra dire que les 2 plans ne sont pas parallèles, donc qu'ils sont sécants ...

Posté par
Yukino
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 11:55

Oui P et P' sont sécants si je ne me trompe pas, mais comment trouver leur droite D d'intersection?

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 11:58

Je t'explique comment faire ...

Soit Vp et Vp' les vecteurs normaux aux plans P et P'.

Appelons U un vecteur directeur de la droit D.

Le vecteur U appartient au plan P, donc U et Vp sont orthogonaux, donc le produit scalaire U.Vp est nul.
Le vecteur U appartient au plan P', donc U et Vp' sont orthogonaux, donc le produit scalaire U.Vp' est nul.

En prenant U(a;b;c), et en écrivant les 2 produits scalaires, cela te donnera 2 équations avec a, b et c pour inconnues ...

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 11:59

Je te laisse continuer, faut que j'aille manger quand même ...

Posté par
Yukino
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 12:03

Ok, merci pour l'aide, je vais essayer de faire ça.

Et bon appétit ^^

Posté par
Yukino
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 12:25

Voyons voyons...

a = - 4b
c = 3b

Donc, par exemple, on a : vecteur u (-4 ; 1 ; 3)
C'est correct?

Donc:
Eq paramétriques de D:
x = xA + k.(-4)
y = yA + k.(1)
z = zA + k.(3)

avec A(xA;yA;zA) apartenant à D

?

Posté par
Yukino
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 12:26

Mais comment trouver 1 pt de la droite?

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 12:40

Ok, ca roule pour le vecteur directeur !

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 12:41

Pour trouver un point de la droite, il te suffit de prendre un point qui appartient aux 2 plans, donc dont les coordonnées vérifient les 2 équations des 2 plans.

Tu prends x=1 par exemple, puis tu cherches y et z ...

Posté par
Yukino
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 12:55

Ah d'accooord... mille mercis ^^

Alors, j'ai trouvé: A ( 1 ; -1/2 ; -3/2)
Ce qui fait:
Eq paramétriques de D
x = 1 + k.(-4)
y = -1/2 + k.(1)
z = -3/2 + k.(3)

C'est bon?

Au fait, j'ai 3 autres exercices comme celui-là, je vais les faire tout de suite. Est-ce que ça te dérangerai de jeter un coup d'oeil sur mes reponses après pour voir si c'est juste?
Je poste dans environ 10 min.
Merci beaucoup à l'avance!! =)

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 13:02

Ok, c'est bon ...

Posté par
Yukino
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 13:15

Voilà voilà...
Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants ? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite D = P (intersection) P'

1)
P: 5x - y - 1 = 0
P': z = 3


J'ai trouvé: ils sont sécants.
vecteur normal à P : v ( 5 ; -1 ; 0)
vecteur normal à P' : v' ( 0 ; 0 ; 1)
D = P (intert) P'
vecteur de D: u (1;5;0)
Pt quelconque de D: A (1;4;3)
Equations paramétriques de la droite D:
x = 1 + k
y = 4 + 5k
z = 3

-------------------------------------------------

2)
P: 2x - z + 1 = 0
P': 4x - 3y + 2z + 5 =0


P et P' sont sécants.
vecteur normal à P : v ( 2 ; 0 ; -1)
vecteur normal à P' : v' ( 4 ; -3 ; 2)
D = P (intert) P'
vecteur de D: u ( 1/2 ; 4/3 ; 1)
Pt quelconque de D: A (1;5;3)
Equations paramétriques de la droite D:
x = 1 + k. 1/2
y = 5 + k.4/3
z = 3 + k

-------------------------------------------------

3)
P: 4x - 6y +8z - 1 = 0
P': -6x + 12y -9z + 11 =0


P et P' sont sécants.
vecteur normal à P : v ( 4 ; -6 ; 8)
vecteur normal à P' : v' ( -6 ; 12 ; -9)
D = P (intert) P'
vecteur de D: u ( -7/2 ; -1 ; 1)
Pt quelconque de D: A ( 1 ; 67/42 ; -11/7)
Equations paramétriques de la droite D:
x = 1 + k.(-7/2)
y = 67/42 + k.(-1)
z = -11/7 + k


Merci pour la future correction!!

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 13:16

Pour le 1 : OK !

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 13:18

Pour le 2 : OK !

Tu peux te "débarasser" des fractions pour le vecteur directeur de la droite, en multipliant tout par 6 :

U(3;8;6)

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 13:21

Pour le 3 :

Ok pour le vecteur directeur, mais pour les coordonnées du point, il me semble que ça ne marche pas (en faisant la vérification dans le système, ça ne colle pas)

Posté par
Yukino
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 13:33

Ah? Je vais vérifier...

Posté par
Yukino
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 13:39

Ce point est bon?
A ( 0 ;  185/42 ; 24/7)

(Désolée pour les fractions et les nombres énormes :s)

Posté par
jamo Moderateur
re : Intersection de 2 plans : exercice 17-06-07 à 14:02

Non, ce n'est pas encore bon ...

Ca marche pour le plan P, mais pas pour P', il doit y avoir une toute petite erreur ...



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