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Intersection de droite avec une parabole

Posté par
Shad
02-11-06 à 18:28

Bonjour,
Je viens vous demander de l'aide parceque j'ai un petit problème sur un DM :
Voilà, on définit f sur par f(x)=x²-4x+5 et on appelle (C) sa courbe dans le repère (O;i;j)

1. Démontrer que la courbe C est strictement au dessus de l'axe des abscisses.

Ca c'était plutôt facile, les coeff du trinome sont a=1 b=-4 et c=5 donc la parabole est vers le heut car a>0 et le minimum atteint en -b/2a = 2 vaut 1 (bon j'ai raccourci la rédaction ici) donc le minimum ets situé au dessus de l'axe des abscisses. Conclusion : la courbe est au dessus de l'axe des abscisses.

Mais là ça se corse

2.Soit m un réel, on considère (Dm) d'équation y=-x+m
a. Déterminer m pour que cette droite et (C) n'aient qu'un seul point d'intersection et déterminer les coordonnées de ce point.

Alors la au début je pensais bêtement à faire m=3 pour que la droite passe par le minimum de (C) mais c'était trop facile et il y a un second point d'intersection en (1;2). Après plusieurs tatonements j'ai trouvé m=2.75 et le point de coordonnées (1.5;1.25) mais ce résultat m'est inutile car je suis incapable de le justifier.
Je voulais vous demander par où commencer, est-ce que vous pourriez me donner une petite piste s'il vous plait (ou une grosse piste c'est au choix) parceque je galère depuis le début de l'après midi, j'ai essayé plei nde trucs à un moment je suis arrivé à un résultat sans aucun sens : m=x²-3x+5 alors que m est sensé être constant....

Je vous remercie d'avane pour votre aide.
Shad

Posté par
Lopez
re : Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 18:36

bonsoir,

tu dois étudier l'existence des solutions de l'équation f(x) = y
x² - 4x + 5 = -x + m

Posté par
Shad
re : Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 18:37

Merci beaucoup Lopez ! Je vais essayer ça de suite.

Posté par
Shad
re : Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 18:52

Donc j'ai..
x²-4x+5=-x+m
x²-3x+5-6=0
=(-3)²-4(5-m)
=9-20+4m

doit être égal à zero pour n'avoir qu'une solution (un seul point d'intersection) donc...

9-20+4m=0
-11=-4m
m=-11/-4
m=2.75

Merci.

Posté par
Lopez
re : Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 18:53

exact!!

Posté par
alexandre117
Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 18:59

Bonsoir!
C'est étrange mais j'ai l'impression qu'on le même dm, enfin...
Moi aussi je suis dessus depuis 2 jours et je tourne en rond...
J'en suis au même point : j'ai bien trouvé m=2,75, mais je vois pas comment on pourrais trouver les coordonées de m, l'intersection de Dm et de C...
Pouvez-vous m'aider, s'il-vous-plait?

Posté par
Lopez
re : Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 19:01

la solution est déjà donnée : post de shad à 18:52

Posté par
Shad
re : Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 19:05

Tu as le même DM que moi ? t'es sur ? moi j'ai un autre exercice avec une section de pyramide à faire, tu as ça aussi ? Parceque si tu as ça on est peut être dans la même classe vu qu'il y a un alexandre dans la mienne. Je suis au lycée Alain Colas à Nevers, toi aussi ?

Posté par
alexandre117
Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 19:21

ET mais oui! Moi aussi j'ai un exercice avec une section de pyramide...
Et oui, je suis au lycée alain colas à nevers!
Donc on doit être dans la même classe... c'est marrant!

Sinon, pour les coordonées, j'ai cherché a trouver le minimum et je trouve x=-b/2a, donc x=3/2 = 1,5
Et ensuite, pour y, j'ai fais f(1,5) et j'ai trouvé y=1,25
Mais je ne vois pas pourquoi je devrais faire ca, alors je vous demende si cette justification est juste...

Posté par
Shad
re : Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 19:32

Ah salut alex alors, c'est Flo de ta classe !
Pour répondre à ta question...
C'est parceque le minimum de x²-3x+5-m c'est aussi la racine double de ce même trinome comme =0, et cette racine indique x, soit l'abscisse du point d'intersection (car lors de la mise en équation f(x) = y c'est ce qu'on cherchait), et ensuite tu fais f(1.5) car tu cherche à quoi correspond sur (C) le point d'abscisse 1.5 et là tu obtient bien 1,25.
Voilà tout ça pour dire qu'en réalité tu as calculé le minimum de x²-3x+5-m mais celui ci correspond à la racine double avant tout du trinome quand m=2.75 donc dans ta rédaction il faudra pas parler de minimum mais bien de racine ou de solution même si le minimum est aussi la racine.

Si ça n'est pas ça merci de me corriger si quelqu'un passe et vois une rerreur dans ce que je viens e dire !

Posté par
alexandre117
Intersection de droite avec une parabole 02-11-06 à 19:39

Ah! Et bien bonsoir Florent! ^^
Oui, je pense que tu as raison : la racine double d'un trinome c'est bien -b/2a et pour le reste je pense la meme chose...
Mais c'est vrai que quelqu'un de plus qualifié puisse nous répondre, s'il-vous-plait.
Ca serait vraiment sympa de votre part.



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