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Intersections

Posté par
bechelly 03-06-23 à 14:13

Bonjour, j'ai besoin d'aide svp.

Soit f la fonction définie par f(x)=2x³+ax²+b, a et b sont des constantes réelles. (C) est sa
courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j)
1. Calculer a et b pour que S (-1 ;0) soit un sommet de (C).

Dans la suite, on suppose que

f(x)=2x³+3x²-1

2. Dresser le tableau de variations de f.

3. Montrer que le point I(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}) est un centre de symétrie de (C).


4. vérifier que f(x)= (x+1)²(2x-1) puis Résoudre l'équation f(x)=0.

5. Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point  I(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2})

6. Tracer (T) et (C).

7. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)<0

8. Déterminer, selon les valeurs de m, le nombre de solutions de l'équation f(x)=m.

9. Tracer dans le méme repère, la courbe (C') de la fonction g définie par g(x)=|f(x)|

10. Soit (D) la droite passante par S(-1 ;0) et de coefficient directeur m
a) Vérifier que

2x³+3x²-mx-m-1=(x+1)(2x²+x-m-1)

b) Déterminer, selon les valeurs de m, le nombre des points d'intersection de (C) et (D).

c) Dans le cas où il y a trois points d'intersection S, M1 et M2, trouver le lieu du point I milieu de [MiM2] quand m varie et limiter ce lieu.


Ma question est dans le 10.b.
Pour trouver le nombre de points d'intersections j'ai fait le système entre (C) et (D) et j'ai eu après soustraction:
(D)-(C)=-m(x+1)

Si je raisous cette équation au abscisses j'aurai que m=0. Et si m=0; (C) et (D) sont confondues.
Je suis perdu

Posté par
heklare : Intersections 03-06-23 à 14:22

Bonjour

Je ne comprends pas ce que vous faites

Vous avez à résoudre le système

\begin{cases}y=2x^3+3x^2-1\\y=mx+m\end{cases}

En formant l'équation aux abscisses, on obtient (x+1)(2x^2+x-m-1)=0 Question 10 a)

le problème se ramène à discuter le nombre de solutions de l'équation 2x^2+x-m-1=0.

Posté par
bechellyre : Intersections 03-06-23 à 17:01

Comment ave-vous su que (D):y=mx+m?

Posté par
heklare : Intersections 03-06-23 à 17:05

D est la droite de coefficient directeur m passant par le point S(-1~;~0)

Comment écrit-on, dans ce cas, l'équation de la droite ?

Posté par
bechellyre : Intersections 03-06-23 à 18:31

J'ai fait tout l'exercice juste et la plus simple partie faux.
Merci mr

Posté par
heklare : Intersections 03-06-23 à 18:41

N'oubliez pas de compter -1 comme abscisse du point d'intersection

m< -\dfrac{9}{8}\quad 1\  \text{point d'intersection}

m= -\dfrac{9}{8}\quad 2\  \text{points d'intersection}

m> -\dfrac{9}{8}\quad 3\  \text{points d'intersection}

De rien

Posté par
bechellyre : Intersections 03-06-23 à 19:07

Oui bien sûr, on ne sait pas comment raisoudre une équation du troisième degré, pour cela on nous a demandé de vérifier dans a.
Merci

Posté par
bechellyre : Intersections 03-06-23 à 19:32

Pour ce qui est de c.
J'ai calclué xI=\frac{x_M_1+x_M_2}{2}=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{4}

I appartient à (D), donc les coordonnées de I vérifient l'équation de (D)

Donc yI=-\frac{3}{4}m+m

DoncI(-\frac{3}{4};-\frac{3}{4}m+m)

Alors le lieu de I est la droite d'équation y=xm+m pour tour m>-\frac{9}{8}?

Posté par
heklare : Intersections 03-06-23 à 20:05

c) Oui, x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}

donc l'abscisse du milieu est -\dfrac{b}{2a}

Dans l'équation b=1 et a =2  

l'abscisse du milieu est alors -\dfrac{1}{4}.

Non, car l'abscisse est fixe

Intersections

Posté par
bechellyre : Intersections 03-06-23 à 20:42

Je ne dois pas prendre le a et le b de l'équation aux abscisse? Celle qui est du troisième degré?

Posté par
heklare : Intersections 03-06-23 à 20:56

L'équation du second degré est 2x^2+x-m-1=0 obtenue après la factorisation

   Dans cette équation a=2, b=1 et c=-m-1

c'est bien ainsi que vous avez obtenu pour

\Delta : 1^2-4\times 2\times (-m-1)=1+8m+8=8m+9

Posté par
bechellyre : Intersections 03-06-23 à 21:34

Donc on néglige le (x+1) étant donné qu'on a besoin seuelement de m et non pas de x.


C.a.d on prend seulement 2x²+x-m-1 de l'équation aux abscisses (x-1)(2x²+x-m-1)?

Posté par
heklare : Intersections 03-06-23 à 22:12

Reprenons

On a une courbe C et une droite D. On cherche les coordonnées des points d'intersection de ces deux courbes.

pour cela on écrit l'équation aux abscisses

2x^3+3x^2-1=mx+m  que l'on va transformer en

2x^3+2x^2-mx-m-1=0 puis en factorisant par x+1 on obtient alors

(x+1)(2x^2+x-m-1)=0  

pour qu'un produit de facteurs soit nul  

x+1=0  ou 2x^2+x-m-1=0

la première équation affirme que l'on aura toujours un point d'intersection pour x=-1

Quant à la seconde, il dépendra des valeurs de m d'avoir 0, 1 ou deux racines.

On résout donc cette équation  du second degré comme d'habitude.

\Delta = 8m+9  pour les détails cf. supra.

Le nombre de solutions dépend par conséquent de la valeur de m.

\Delta <0  \quad m<-\dfrac{9}{8}  donc l'équation n'a pas de solutions.  Il en résulte qu'il y a 1 seul point d'intersection entre la courbe C et D.

deuxième cas

\Delta =0  \quad m=-\dfrac{9}{8}  donc l'équation a une solution.  Il en résulte qu'il y a 2 points d'intersection entre la courbe C et D.

Troisième  cas

\Delta >0  \quad m>-\dfrac{9}{8}  donc l'équation  a deux solutions distinctes.  Il en résulte qu'il y a trois points d'intersection entre la courbe C et D.

Les points sont alors S, M_1 $ et $ M_2   Où les abscisses de M_1 et de M_2 sont les solutions de l'équation du second degré.

Puisqu'il s'agit d'avoir les coordonnées du milieu de ces deux points, pas besoin de les avoir explicitement.

la suite a déjà été écrite 20 .05

Posez vos questions.


Posté par
bechellyre : Intersections 03-06-23 à 23:08

Je vous remercie pour cette explication.
Je constate que S est déjà un point d'intersection.
Les points M1 et M2 dépendent de la valeur de m dans 2x²+x-m-1.

Donc je dois prendre le a et le b dans cette équation. Je continue comme à 19:32 mais cette fois avec les valeurs correctes.

Posté par
heklare : Intersections 03-06-23 à 23:24

On sait que M_1 et M_2 existent uniquement si m>-\dfrac{9}{8}

À partir de là, on peut connaître les coordonnées du milieu.

Posté par
bechellyre : Intersections 04-06-23 à 07:53

D'accord, j'aurai x_I=-\frac{1}{4}.

Puisque I appartient à (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (D).
y_I=-\frac{1}{4}m+m=m(-\frac{1}{4}+1)=\frac{3}{4}m

Or M_1 et M_2 equistent lorsque m>-\frac{9}{8}

\frac{3}{4}m>-\frac{9}{8}×\frac{3}{4}

Donc yI>-\frac{27}{32}

Alors le lieu de I est la droite d'équation y=xm+m avec y>-\frac{27}{32}

Posté par
heklare : Intersections 04-06-23 à 09:54

Bonjour  

exact  le lieu est la demi-droite en bleu Z exclu

en violet la droite tangente à la courbe y=-9/8x-9/8  les points d'intersection M_1 et M_2 sont confondus en Z

en orange m=-1 en bleu clair m=2

Intersections

Posté par
bechellyre : Intersections 04-06-23 à 10:08

D'accord merci beaucoup pour votre temps.
Très belle explication

Posté par
heklare : Intersections 04-06-23 à 10:12

De rien
Bonne journée

Posté par
bechellyre : Intersections 04-06-23 à 13:17

Merci à vous aussi!

Posté par
heklare : Intersections 04-06-23 à 13:43

En relisant

Citation :

Alors le lieu de I est la droite d'équation y=xm+m avec y>-\frac{27}{32}


Ceci est faux, l'ensemble des milieux est la demi droite,  d'origine Z, d'équation x=-\dfrac{1}{4} situé dans le demi-plan contenant l'origine  et de frontière (SZ)


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