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Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes sont d

Posté par
nathvok26 25-03-20 à 17:18

Bonjour,
J'ai un exercice de math à faire mais je n'y arrive pas. Je dois inventer l'expression d'une fonction dont le graphique admet une asymptote verticale d'équation x=2 et une asymptote horizontale d'équation y=2.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 17:21

Bonjour

Quand a-t-on une asymptote verticale  ?  Une asymptote horizontale ?

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 17:25

l'asymptote verticale est en x = 2
l'asymptote horizontale est en y = -1

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 17:30

Vous ne répondez pas à la question  
D'une manière générale que faut-il pour avoir une asymptote verticale

Voulez-vous une asymptote horizontale  y=2 et une y=-1 ?

Mais commençons par la « verticale »

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 17:33

Pour avoir une asymptote verticale il faut que la limite = 1/0

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 17:35

Je dois inventer une fonction qui admet deux asymptotes :
1 verticale en x =2
et 1 horizontale en y = -1

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 17:39

Ce n'est pas ce que je dirais : non définie  et limite infinie

On prendra donc  quelque chose du style \dfrac{\text{ce que l'on veut mais différent de 2}}{x-2}  ou quelque chose qui a   x-2 au dénominateur

maintenant horizontale y=2 ou y=-1 ?

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 17:42

L'asymptote horizontale est en y = -1
Mais je dois trouver une fonction qui a l'asymptote verticale et l'horizontale en même temps c'est cela que je n'arrive pas à faire

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 17:46

Chaque chose en son temps  l'une est dans le domaine fini l'autre est à l'infini

Que proposez-vous pour que la courbe admette y=-1 comme asymptote  ? sans l'autre condition

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 17:50

-3x²+x/3x²+x

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:02

Oui   on peut faire mieux   en écrivant des trinômes complets

\dfrac{-3x^2+x+a}{3x^2+x+\alpha}

Ne pouvez-vous pas écrire au dénominateur un trinôme qui s'annule en 2  mais uniquement si vous ne voulez pas d'autres asymptotes verticales

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:05

avoir d'autres asymptotes verticales n'est pas un problème

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:11

Dans ce cas  vous prenez un trinôme du second degré commençant par 3x^2 et  au dénominateur quelque chose de la forme 3(x-2)(x-x_2)
qui d'ailleurs peut être développé

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:12

Que signifie écrire un trinôme au dénominateur qui s'annule en 2 ?

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:15

Que 2 est une valeur qui annule le dénominateur  c'est bien ce que vous voulez pour obtenir une asymptote verticale  x=2

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:17

Je pense avoir trouvé :
-3x²+x/3.(x-2)*(x+2/3)

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:23

Ainsi non car il manque des parenthèses

\dfrac{-3x^2+x}{3(x-2)(x+\frac{2}{3})}

Pourquoi pas ?  Vous avez une seconde asymptote verticale  x=-\dfrac{2}{3}

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:29

Pourriez-vous me réécrire un résumé du résonnement car l'exercice me parait encore un peu flou ?

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:47

ai  raisonnement et non  résonnement plutôt pour du son

Vous êtes parti sur l'idée de prendre le quotient de deux polynômes du second degré pour avoir une asymptote horizontale

  Pour que ce soit -1 il faut donc que les coefficients de x^2 soient opposés 3x^2 /-3x^2  par exemple

N'importe quoi de la forme \dfrac{-ax^2+\dots}{ax^2+\dots}  conviendrait aussi (a\not=0) évidemment

La première condition est donc remplie  Maintenant pour la seconde  vous avez dit  qu'il fallait quelque chose en 1/0

Par conséquent 2 doit être une racine du trinôme  l'autre étant ce que l'on veut  mais il y aura une autre asymptote verticale Si l'on n'en veut pas il faudra alors que 2 soit une racine double  donc en (x-2)^2

Conclusion dans le choix de la fonction   celle que vous avez donnée  ou \dfrac{-ax^2+\dots}{a(x-2)(x-x_1)}\quad  x_1 étant un réel quelconque  et pourquoi pas 2 ?

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:49

La plus simple   -1+\dfrac{1}{x-2}

Posté par
nathvok26re : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 18:55

ok merci beaucoup

Posté par
heklare : Inventer l'expression d'une fonction quand les asymptotes s 25-03-20 à 19:06

De rien


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