question a)

si n est la longueur d'un côté les deux autre termes consécutifs
sont (n+1) et (n+2)

pythagore vous donne:

(n+2)²=(n+1)²+n²

ssi n²+4n+4=n²+2n +1+n²

ssi n²-2n-3=0

D=4+4*3=16

n1=(2+4)/2=3 et n2=(2-4)/2=-1 cette dernière ne convient pas.

l'exemple bien connu est obtenu à partir de n1 car on sait très bien que 5²=3²+4²

question b)

soit un triangle de dimensions 5a, 4a et 3a on a alors:

(5a)²=25a²

et (4a)²+(3a)²=16a²+9a²=25a²

ce triangle est donc rectangle.

réciproquement.

soint n, m et l sont les côtés du triangle réctangle.

n,m et l éléments de N non nuls tels que l>m>n.

alors l²=n²+m²

donc l²-m²=n² ssi (l-m)(l+m)=n²  donc (l-m) divise n² et (l+m) divise
n².

soit d le PGCD de l et m

d divise l et m donc il divise l-m et l+m

donc d² divise n².

donc il existent l', n' et m' tels que

l=d*l'   et n²=d²*n' et m=d*m'.

avec l' et m' premiers en eux et d²*l'²=d²n'²+d²*m'²

l'²=n'²+m'²

l'+m'=n'²
l'-m'=1

2m'=n'²-1=(n'-1)(n'+1)
donc n'-1 divise 2
comme 2 est premier n'-1=2 ou n'-1=1
n'-1=1 donne n'=2 donc 2m'=4-1=3 ce qui n'est pas possible
car 2 ne divise pas 3.

n'-1=2 donne n'=3 et 2m'=9-1=8  donc m'=4

et l'²= 3²+4²=25 donc l'=5

n'=3,m'=4 et l'=5 sont bien consécutifs et vérifient l=5d, m=4d et n=3d


d étant le PGCD des 3 nombre l, m et n.

c'est la réciproque.

Ceci étant je ne sais si l'arithmétique est au programme de la Première.
?

dans tous les cas, telle que la deuxième question est posée vous devez
démontrer la réciproque.

Voila.

Je vous prie d'accépter mes remerciements et mes meilleurs voeux
pour l'année 2004.