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Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:03

Citation :
car même pour les équations différentielles d'ordre 1, ce n'est qu'au programme de spé...


Ah bon ????

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:05

En tout cas officiellement, même si l'on voit les équations différentielles dès la terminale, la méthode de résolution générale par la méthode de variation des constantes est au programme de maths spé (dans partie intitulé "Equations différentielles linéaire"...)

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:10

Citation :
Officiellement, la méthode de variation de la constante est au programme de Maths spé... même si on peut le voir en sup...


Nous cette année en sup, on a vu la méthode de variation de la constante.

Sauf erreurs, je crois qu'elle est au programme ...

Romain

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:11

lyonnais > tu l'as vu pour les équations du premier ordre?

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:17

Ah oui tealc tu as raison.

J'ai été revoir mon cours. On a vu cette méthode pour les équations du premier ordre, mais pour celle du second ordre à coeff constant, on l'a fait une fois et il y a bien marqué entre parenthèse : "hors programme"

Excuse moi

Romain

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:19

Pas de problème! mais d'après ce que tu dis tu as fait la variation de la constante pour les équations du premier ordre en sup... je me suis donc aussi trompé et j'en suis moi aussi désolé

Tealc

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:23

Donc si j'ai bien compris :

Pour les équations linéaires du premier ordre à coeff constant, on appelle cela la méthode de " variation de la constante " (comme indiqué dans mon cours)

Et pour les équations linéaires du second ordre à coeff constant, on appelle cela la méthode de " variation des constantes "

C'est ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:23

Citation :
Va falloir que je revois la méthode de variations des constantes


Rouliane, ça tombe bien parce que j'en ai encore quelques uns en réserves du même genre !

Voici deux énoncés pour ceux que ça intéresse :

1) Soit f une fonction de classe \Large{C^{1}} et a un réel tel que \Large{\lim _{x\to +\infty}(f'(x)+f(x))=a}.

Montrer que \Large{\lim_{x\to +\infty}f(x)=a}.

2) Soit f une fonction de classe \Large{C^{2}} et a un réel tels que \Large{\lim_{x\to +\infty}(f''(x)+f'(x)+f(x))=a}.

Montrer que \Large{\lim_{x\to +\infty}f(x)=a}.


Kaiser

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:24

je ne sais pas si c'est officiel, mais en tout cas cela se comprend bien car pour une équation du second degré, il y a deux "constantes" à déterminer... enfin c'est peut être qu'une histoire de mots...

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:25

kaiser > par hasard t'étais pas examinateur à l'X toi? parce que celles la aussi je les ai eu (enfin la première en tout cas!)

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:27

tealc> je pense que je suis un peu trop jeune pour ça !

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:29

Pas forcément tu sais... j'en ai eu un, je lui donnais même pas 23 ans... enfin bref... du coup je pense avoir la réponse à la première question

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:31

Par contre, pour la 2ème, il faudra prendre son courage à deux mains pour faire les calculs !

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : 26-07-06 à 19:35

Pour la question 1, j'arrive à :

En appliquant la méthode de variation de la constante :

\white{3$\rm f(x) = e^{-x}(\lambda + \bigint_{0}^{x} g(t)e^t dt) avec g = f'+f et \lambda \in R}

Déjà, est-ce que les calculs sont à peu près bon ?

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:37

(la vache, ça rend pas bien le nouveau blanke + le LaTeX )

Posté par
infophilere : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:37

Je n'arrive pas lire ta réponse ! (Bon je sais de toute façon je ne la comprendrais pas mais c'est pour signaler un bug)

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:38

lyonnais> c'est un bon début !

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:39

Problème réglé !

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:44

à plus tard lyonnais !

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:50

euh kaiser... c'est normal que je n'arrive pas à lire ce qu'a écrit lyonnais?

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:52

Citation :
euh kaiser... c'est normal que je n'arrive pas à lire ce qu'a écrit lyonnais?


Mets en surbrillance le passage blanc !

Posté par
Fractalre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:53

Ca ne marche pas avec le renard .

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:54

ah oui, c'est vrai ! FF n'aime pas trop l'ancien blanké !

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 19:58

ah ok merci!

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:23

Alors je continu :

Mais je crois que j'ai un problème :

on a donc :

\white{4$\rm f(x) = e^{-x}(\lambda + \bigint_{0}^{x} g(t)e^t dt) avec g = f'+f et \lambda \in R}

Bon déjà on sait que :

4$\rm \white \lim_{x\to +\infty} \lambda.e^{-x} = 0

Donc si la limite existe :

4$\rm \white \lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \bigint_{0}^{x} g(t)e^t dt

On est donc tout proche du but et il faut donc utiliser l'hypohèse, c'est à dire :

\Large{\lim _{x\to +\infty}(f'(x)+f(x))=a}

soit : \white \Large{\lim _{x\to +\infty}(g(x))=a}

Mais je n'arrive pas à conclure ... l'intégrale me gène

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:26

Je crois que tu as oublié quelque chose dans ton 3ème blanké !

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:28

Ah !! merci

quel boulet

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:28

c'est bon, ça marche maintenant !

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:29

Mais non !
un petit oubli, c'est tout !

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:29

Tu as réussi à montrer que la limite de f c'est a ?

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:34

Oui, par contre, pour la rédaction, je crois que c'est pas terrible

Reprend moi si besoin est ...

 Cliquez pour afficher
, donc il faut intégrer :

 Cliquez pour afficher
!!

On obtiens alors :

 Cliquez pour afficher


Pas très bien rédigé ... (et aussi pour éviter d'avoir tout à tapper en LaTeX)

C'est à peu près ça ? (dans l'idée) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:37

aïe ! aïe ! aïe !

Disons que y'a de l'idée mais ne dis jamais ça à un prof de maths !

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:39

je sais

Déjà le :

 Cliquez pour afficher
ça je sais que ça passe pas !

Tu pourrais si tu as le temps me montrer comment bien rédiger ça ?

(sans vouloir abusé ...)

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : 26-07-06 à 20:44

Je blanke ou je blanke pas ? (je risque d'avoir besoin du \LaTeX )

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:47

Ne blanke pas... mais il faut passer aux epsilon non?

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:48

oui, c'est bien ça ! les bons vieux \Large{\varepsilon} !

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 20:56

Ah c'est pour ça que j'étais bloqué.

Oui je veux bien voir la méthode par les ptis epsilons

Merci en tout cas Kaiser, on apprend plein de choses dans ce super topic

(par contre, ça me gène un peu, ne perd pas trop de temps non plus à m'expliquer...)

PS : j'ai quand même un peu honte de ce que j'ai écrit plus haut !

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : 26-07-06 à 21:08

Dans un premier temps, supposons que a est nul.

Posons \Large{h(x)=e^{-x}\bigint_{0}^{x}e^{t}g(t)dt}
Fixons \Large{\varepsilon >0}.
Par définition de la limite, il existe un réel A tel que pour tout t supérieur à A, \Large{|g(t)|\leq\frac{\varepsilon}{2}}.

Pour tout réel x supérieur à A, on a :

\Large{|h(x)|\leq e^{-x}\|\bigint_{0}^{A}e^{t}g(t)dt\|+e^{-x}\bigint_{A}^{x}e^{t}|g(t)|dt\leq e^{-x}\|\bigint_{0}^{A}e^{t}g(t)dt\|+\frac{\varepsilon}{2}e^{-x}\bigint_{A}^{x}e^{t}dt}

Le terme de gauche tend vers 0, donc il existe un réel B tel que pour tout x supérieur à B, ce terme est inférieur à \Large{\frac{\varepsilon}{2}}.

Ainsi, pour tout x supérieur à max(A,B), on a :

\Large{|h(x)|\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}e^{-x}\bigint_{A}^{x}e^{t}dt}

Or, \Large{e^{-x}\bigint_{A}^{x}e^{t}dt=e^{-x}(e^{x}-e^{A})\leq 1}, d'où :

\Large{|h(x)|\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon}

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 21:09

Ne t'inquiète pas lyonnais ! ça me fait plaisir !

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : 26-07-06 à 21:13

On ne suppose plus a nul.
En posant pour tout x, \Large{\varphi(x)=f(x)-a}, \Large{\varphi} vérifie \Large{\lim_{x\to +\infty}(\varphi'(x)+\varphi(x))=0} et on se ramène au cas précédent, ce qui permet de conclure.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 21:20

Citation :
PS : j'ai quand même un peu honte de ce que j'ai écrit plus haut !


On va faire comme si on n'avait rien vu !

Posté par
tealcre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 21:22

En tout cas kaiser, quelle rédaction efficace

par contre, pour le deuxième exercice, j'avoue avoir du mal dans les calculs... enfin, je vais m'y replonger...

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 21:23

Ouah merci beaucoup kaiser

Ca fait faire des révisions pour l'utilisation des epsilons, c'est super !!

Direct dans mes favoris, pour le refaire plus tard

encore merci

Bonne soirée
Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 21:25

Mais je vous en prie !
Bonne soirée !

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 21:26



Si seulement c'était possible !

Posté par
lyonnaisre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 21:27

oups, erreur de balise

Citation :
On va faire comme si on n'avait rien vu !


si seulement c'était possible !

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 21:27

Tu as mis un lien vers tes favoris ?

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" * 26-07-06 à 21:31

OK !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" 27-07-06 à 13:35

Bonjour;
kaiser , je ne comprends pas comment tu obtiens le systéme avec \lambda' et \mu' !
Il doit y avoir des termes en \lambda'' et \mu'' , non ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : JFF mathématique : "inéquation différentielle" 27-07-06 à 15:52

Je viens de refaire le calcul ça va on trouve plus précisément:
3$\fbox{h(x)=\lambda(x)cos(x)+\mu(x)sin(x)\\h''(x)+h(x)=g=(\lambda'(x)cos(x)+\mu'(x)sin(x))'+(-\lambda'(x)sin(x)+\mu'(x)cos(x))} d'où le systéme en question

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