Salut kaiser ,

Il manquerait pas un morceau à ton énoncé ?

Je ne vois pas de quoi tu parles !!

Plus sérieusement, , n'aime pas les guillemets et j'ai donc remplacé " par .

Encore un privilège de rouge...

Un p'tit indice Kaiser ?

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J'ai essayé en dérivant 2 fois f(x)+f(x+pi) et en essayant de bidouiller avec l'hypothèse donnée, sans résultat

Bonsoir Rouliane

Tout d'abord, je tiens à rectifier une erreur de plus. Il faut bien sûr lire que f est de classe , et non pas juste de classe .
Indice pour ceux qui veulent :

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Poser g=f"+f et considérer une équation différentielle dont f est solution.

Pas d'idée ?

salut kaiser!

je n'ai pas beaucoup de temps mais je propose l'idée rapidement :

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on résoud l'équation différentielle y''+ y = g par la méthode de variations de la constante, ce qui donne un résultat pour f sous forme intégrale avec des cosinus et sinus. Ensuite, le tout se met dans une intégrale et à ce moment on peut utiliser l'hyupothèse f''+f >= 0...

Pour ma part, aucune idée

J'ai essayé d'utiliser ton indication Kaiser, en vain.

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D'ailleurs, on pourrais résoudre, comme dit Tealc, l'équa diff y''+y=g . Mais on ne connait pas g ...

Bonjour Rouliane.

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On ne connait pas g mais on sait que g est positive par hypothèse, et c'est la que ca vous jouait son rôle!

je vais réfléchir à ça, merci

Bonjour;
Il s'agit de prouver que l'équation différentielle:
admet au moins une solution qui soit positive sur tout car si tel est le cas on aurait l'existence de deux réels et tels que et donc

Je vais faire tâche dans votre discution mais j'ai une question :

Qu'est-ce que la classe ? La classe c'est lorsque la dérivée d'une fonction est positive non ?

Kévin

Bonjour à tous

Mais non infophile ! Tu as raison de poser des questions.
On dit qu'une fonction f est de classe si elle est k fois dérivable et si sa dérivée k-ième est continue.

Kaiser

Bonjour,

Kévin : non seulement ta question ne faisait pas âche, mais en plus la réponse a servi au moins deux personnes .

Estelle

Donc merci à Kevin d'avoir posé la question et à Kaiser d'avoir répondu.

Estelle

Ehlor, ça vient d'où l'existence de a et b tels que ?

D'où sortent les et ?

Merci

elhor_abdelali> Je ne comprends pas. L'existence d'une solution positive n'est pas forcément vérifiée.

Sinon, voulez-vous encore réfléchir un peu ou alors est-ce que je peux poster la réponse ?

Estelle>

Ca sort de l'équation homogène associée...
Tu résouds y"+y=0 tu trouves une solution.
Tu trouves une solution particulière de y"+y=g et maintenant la solution générale est la somme des 2.

Estelle

A mais oui, qu'est ce que je suis c*** .

Je sais pas pourquoi, j'étais persuadé que c'était la solution particulière

Kaiser, je veux bien la solution moi

Merci Kaiser

_{Tu as déjà vu la dérivabilité STL ?}

>> Kaiser

Est-ce qu'avec un niveau de terminale, on peut réussir à résoudre le problème ? Et si oui, quelles sont les compétences exigibles ?

Kévin

bonjour,

alors après résolution :



sauf erreur.

à partir de là, on prouve que non?

_{Tu as déjà vu la dérivabilité STL ?}
"Vu", c'est beaucoup dire, mais oui.

Estelle

infophile> Personnellement, la méthode que j'utilise est abordable au niveau sup. Maintenant, je ne sais pas comment s'organise le programme de Terminale à présent mais pour pouvoir s'attaquer ce problème, il faut savoir résoudre les équations différentielles du second ordre avec second membre. Quand j'étais en Terminale (il y a 4 ans), on nous avait simplement balancé la formule pour les équations du type (donc sans second membre).

Kaiser >> Avec ce document on peut s'en sortir ?

Et est-ce que la remarque d'otto fait référence au théorème 4.1 de ce document ?

Désolé infophile, mais il semblerait que ce document ne traite pas les équations différentielles du second ordre avec second membre !

Bonne réflexion pour les autres

Comme, apparemment, il n'y a pas d'objections, je poste la solution (qui a été plus moins donnée).
Je vous demanderais simplement de patienter un peu !
Désolé, je n'ai encore rien écrit ! (totale improvisation )

je suis impatient de voir cette correction

Même si j'ai l'impression que les calculs donnés par tealc sont corrects ...

(connaissant plus ou moins kaiser, ça sent la "big" correction)

Comme indiqué plus haut, l'idée était de se ramener à la résolution d'une équation différentielle.
En posant , f est clairement solution de l'équation différentielle du second ordre avec second membre .

D'abord, les solutions de l'équation homogène sont de la forme où a et b sont des constantes.

Ensuite, déterminons une solution particulière en utilisant la méthode de variation des constantes.
Plus précisément, on cherche des fonctions et tels que pour tout x réel :



En résolvant ce système linéaire, on trouve que

.

On choisit donc

.

Finalement, comme f est solution l'équation, alors il existe des constantes a et b tels que pour tout x :



Pout tout x, on a alors :



On effectue le changement de variable u=t-x et on a :



Le sinus est positif sur l'intervalle et g est positive par hypothèse, donc par positivité de l'intégrale, .

Kaiser

P.S : désolé pour le retard !

Salut lyonnais

Pas si "big" que ça finalement !

Kaiser

J'ai rien compris mais c'est très beau tout en LateX

Merci infophile !

ah ben finalement j'étais pas si loin que ça... en tout cas cet exercice, je l'avais à l'oral de l'X (enfin, en tant que "mise en bouche"!)

au fait (Désolé pour le double post) merci pour l'exercice Kaiser

Une remarque : comme f est de classe , alors g est continue et il était bien licite de prendre l'intégrale entre 0 et x.

Super démo Kaiser



après coup quand on voit la correction, on se dit que c'était "faisable" finalement

PS : je trouve ça plutôt "big" moi

^{Salut Kevin}
Merci pour la correction

Merci à tous !

tealc>

Officiellement, la méthode de variation de la constante est au programme de Maths spé... même si on peut le voir en sup...

de la constante ou des constantes ?

Pardon... des constantes (ou de la constante car même pour les équations différentielles d'ordre 1, ce n'est qu'au programme de spé...)

Merci Kaiser pour cette démo

Va falloir que je revois la méthode de variations des constantes