JFF mathématique : "inéquation différentielle" :*: - forum de maths - 84591

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Posté par re : JFF mathématique : "inéquation différentielle" 27-07-06 à 16:16

Merci kaiser pour cet exercice intéréssant

Posté par re : JFF mathématique : "inéquation différentielle"

27-07-06 à 17:55

Posté par re : JFF mathématique : "inéquation différentielle"

15-05-09 à 00:43

Je remonte ce topic intéressant pour une solution plus courte :

on a $4$\fbox{f''cos + fcos = gcos \\ f''sin + fsin = gsin}$ donc $4$\fbox{(f'cos + fsin)' = gcos \\ (f'sin - fcos)' = gsin}$ d'où l'existence de deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$ ,

$4$\fbox{f'(x)cosx + f(x)sinx=b+\int_0^xg(t)costdt\;\;(1)\\f'(x)sinx - f(x)cosx=-a+\int_0^xg(t)sintdt\;\;(2)}$ d'où en considèrant la combinaison $2$sinx(1)-cosx(2)$

$5$\blue\fbox{f(x)=acosx + bsinx + sinx\int_0^xg(t)costdt-cosx\int_0^xg(t)sintdt\\\;\;\;\;\;=acosx + bsinx + \int_0^xg(t)sin(x-t)dt}$ _{sauf erreur bien entendu}

Posté par re : JFF mathématique : "inéquation différentielle"

15-05-09 à 15:14

Joli !!
J'espère tout de même que tu n'as pas passé ces 3 dernières années à rechercher cette solution plus courte !!

Kaiser

Posté par re : JFF mathématique : "inéquation différentielle"

15-05-09 à 20:09

Salut Kaiser

Oh non ! ...l'idée m'est venue cette semaine en lisant le même exercice sur un autre forum

Posté par re : JFF mathématique : "inéquation différentielle"

15-05-09 à 20:13

et là aussi

Posté par re : JFF mathématique : "inéquation différentielle"

15-05-09 à 20:22

tu remarqueras la négligence de l'hypothèse $2$f\in C^2(\mathbb{R})$ d'ailleurs je me demande si l'hypothèse $2$f\in D^2(\mathbb{R})$ n'est pas suffisante ...

Posté par re : JFF mathématique : "inéquation différentielle"

15-05-09 à 20:34

En fait, si je n'ai pas supposé f seulement 2 fois dérivable, c'est juste pour ne pas avoir de problème lorsque l'on passe aux intégrales (notamment, pour ne pas avoir de problème de définition lorsque l'on écrit par exemple $\Large{\bigint_{0}^{x}\sin(t)g(t)dt}$ : bref, si f est seulement deux fois dérivable, g n'est pas forcément continue et là ...)

Kaiser