Inscription / Connexion Nouveau Sujet
JFF : Un peu de géométrie !
Bonjour à tous
Je vous propose un exo de géométrie qui n'utilise que des notions de Terminale.
On considère un cercle et un point A situé en dehors de ce cercle.
Soit M un point quelconque du cercle.
La droite (AM) coupe le cercle en un deuxième point M' (si la droite est tangente au cercle, on a M=M').
Montrer que la quantité est indépendante du point M.
Voici un dessin :
Kaiser
Cliquez pour afficher
Je fais intervenir le point B pour exprimer le produit scalaire autrement :
car M est le projeté orthogonal de B sur (AM).
Ensuite je décompose les vecteurs :
Et comme on a :
Soit finalement
je me souviens être intervenu là : 
1 S : puissance d'un point par rapport à un cercle
Bonjour, effectivement, sur le forum lycée, on en trouve ! un exemple récent : produit scalaire
Est-ce qu'on répond à la question en prouvant que avec
et
deux points quelconques définis comme M et M' ?
Mikayaou >
Oui, J-P avait explicité !
Ensuite, le seul truc qu'il reste à dire (je sais, je chipote beaucoup 
c'est que l'on a effectivement comme le dit aussi Kévin dans sa démo.
kaiser, quelle était ta méthode "plus compliquée" ?
En utilisant les complexes !
En fait, je me ramenais à un repère où les points avaient des coordonnées sympathiques et je faisais mes calculs (qui ne sont pas si moches que ça
).
Kaiser
Pour montrer que on dit que M, M' et B appartiennent au cercle et que l'angle
est rectangle en M'. Donc MB c'est un diamètre du cercle.
C'est mal dit mais tu m'as compris
Notons O le centre du cercle.
On se place dans le plan complexe et on suppose que le point O a pour affixe 0 et que le point A est sur l'axe des abscisses et que son affixe vaut a où a est réel strictement négatif.
On peut paramétrer l'ensemble des droites passant par A avec angle .
Ainsi, pour une valeur fixée de ce paramètre, une droit correspondant sera l'ensemble des complexes de la forme avec t un réel quelconque (si M est un point de la droite, alors on aura AM=|t|)
Notons r le rayon du cercle, alors le cercle est l'ensemble des complexes de la forme avec
.
On se fixe un tel que la droite et le cercle se coupent.
Les points d'intersection de cette droite et de cercle auront un z qui vérifieront :
pour certaines valeurs de t et de .
Ainsi, on a
Ensuite, on prend le module au carré de chaque côté :
ou encore
Comme l'intersection est non vide alors cette équation du second degré possède deux solutions t et t' (qui seront éventuellement égales) et vérifient
Mais du coup, si M est le point correspond au réel t et M au réel t', on aura AM=|t| et AM'=|t'|
D'où d'où le résultat.
Kaiser
joli
on peut même, par analyse sur delta prime, chercher la relation entre a, r et t pour qu'il y ait intersection
mikayaou > Je voulais me placer dans un repère au début, mais il y a toujours de gros calculs à faire !
C'est un peu tard, mais comme demandé par Kaiser, je complémente un peu ma réponse.
Soit B le point du cercle tel que l'angle AM'B = 90°, O le centre du cercle et R son rayon.
On a donc vect(AM).vect(AM') = vect(AM).vect(AB)
vect(AM).vect(AM') = (vect(AO)+vect(OM).(vect(AO)+vect(OB))
= vect(AO).vect(AO) + vect(AO).vect(OB) + vect(OM).vect(AO) + vect(OM).vect(OB)
= AO² + vect(AO).(vect(OB) + vect(OM)) + vect(OM).vect(OB)
Puisque l'angle AM'B est droit, MB est un diamètre du cercle -> vect(OM).vect(OB) = -R² et vect(OB) + vect(OM) = 0 -->
vect(AM).vect(AM') = AO² - R²
et comme A, M et M' sont alignés, on a: AM.AM' = AO² - R² qui ne dépend donc pas de la position de M
le choix du repère est primordial
de là, sortiront des équations simples ou des usines à gaz
Tu m'étonnes !
J-P > OK, merci pour la justification !
Kaiser
ps
mon avis est, quand c'est possible, de donner une démonstration géométrique, qui est plus naturelle que les méthodes vectorielles, analytiques ou trigonométriques
de la même façon, préférer les solutions arithmétiques, qui sont souvent accessibles dès l'école primaire, aux solutions algébriques
!
Annuler
connectez vous