Deux possibilités pour résoudre ce problème (dont l'énoncé est
proposé dans un célèbre magazine de jeux vidéo ce mois-ci...)

Dans tous les cas, on numérote les marches 1,2,3,..., la marche 0 étant
le plancher.



1ière méthode

Considérer la suite u(n), nombre de façon qu'à la grenouille d'accéder
à la marche n.

On a (via un argument de partition des possibilités) :

u(n)=u(n-1)+u(n-2) (la grenouille provient soit de la marche précédente soit de la marche
avant la précédente et il n'y a pas d'autres possibilités)

Sachant que u(1)=1 et u(2)=2 on peut construire tous les termes de la suite
(u) et calculer ainsi u(25)



2ième méthode

Résoudre ce problème revient à écrire 25 sous la forme d'un certain nombre
de fois 1 et un certain nombre de fois 2 (cela s'appelle "partitionner").
Décrivons tous les cas possibles :

25=1*25+0*2 et 25 sauts en tout

25=1*23+1*2 et 24 sauts ""

25=1*21+2*2 et 23 sauts ""

25=1*19+3*2 et 22 sauts ""

etc...

25=1*1+12*2 et 13 sauts ""

puis pour chaque égalité, il suffit de déterminer le nombre de façons
de placer le(s) saut(s) de 1 et le(s) saut(s) de 2.

Ainsi, pour la première égalité, il y a une seule façon de placer les 25
sauts de 1 (sur les 25 sauts en tout)

Pour la deuxième : Cnp(24,23) façons de placer les sauts de 1 (et compléter
par des sauts de 2)

Pour la troisième : Cnp(23,21) façons...



Il suffit d'additionner toutes les possibilités pour (re)trouver
le résultat final !

Merci beaucoup pour ta réponse et bien jouer pour avoir reconnu les
celebre magazine dont l'enigme etait tirée...