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L'ensemble des parties d'un ensemble

Posté par Profil Makoto03 10-10-21 à 01:02

Bonjour!

Soit A et B deux ensembles non vides.

1/Montrer que \mathfrak{P}(A\cap{B})=\mathfrak{P}(A)\cap\mathfrak{P}(B).

2/a.Montrer que\mathfrak{P}(A)\cup\mathfrak{P}(B)\subset \mathfrak{P}(A\cup{B}).
b.A-t-on: \mathfrak{P}(A)\cup\mathfrak{P}(B)=\mathfrak{P}(A\cup{B})?

Merci d'avance.

***Le site a détecté un multicompte***Situation à régulariser***cf Q29 de la FAQ : [lien]
**ce compte doit être fermé**les discussions ouvertes avec ce compte seront poursuivies avec le compte d'origine **

Posté par Profil Makoto03re : L'ensemble des parties d'un ensemble 10-10-21 à 01:16

Pour 1:
Soit \{x\}\in \mathfrak{P}(A\cap{B})\Leftrightarrow x\in A\cap{B} \Leftrightarrow \begin{cases} x\in A\\ x\in B \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \{x\}\in \mathfrak{P}(A)\\ \{x\}\in \mathfrak{P}(B) \end{cases}\Leftrightarrow \{x\}\in \mathfrak{P}(A)\cap{\mathfrak{P}(B)}

Ainsi: \mathfrak{P}(A)\cap{\mathfrak{P}(B)}={\mathfrak{P}(A\cap{B)}}

Posté par Profil Makoto03re : L'ensemble des parties d'un ensemble 10-10-21 à 01:26

Pour 2:

Soit\{x\}\in \mathfrak{P}(A)\cup{\mathfrak{P}(B)}
\{x\}\in \mathfrak{P}(A)\cup{\mathfrak{P}(B)}\Leftrightarrow (\{x\}\in \mathfrak{P}(A)) \vee (\{x\}\in \mathfrak{P}(B))\Leftrightarrow (x\in A) \vee (x\in B)\Leftrightarrow x\in A\cup{B}\Leftrightarrow \{x\}\in \mathfrak{P}(A\cup{B})

Donc \mathfrak{P}(A)\cup{\mathfrak{P}(B)}\subset \mathfrak{P}(A\cup{B})

Posté par
Yzz
re : L'ensemble des parties d'un ensemble 10-10-21 à 06:53

Salut,

Une faille dans ton raisonnement pour la 2.
En raisonnant par équivalences, tu "prouves" alors que \mathfrak{P}(A)\cup\mathfrak{P}(B)=\mathfrak{P}(A\cup{B}) , ce qui n'est pas le cas.
Je te laisse trouver quelle est l'équivalence qui n'a pas lieu d'être, ainsi qu'un exemple montrant que l'inclusion est stricte.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : L'ensemble des parties d'un ensemble 10-10-21 à 07:07

Bonjour,
Je préfère cette formulation :

Citation :
ainsi qu'un exemple pour lequel l'inclusion est stricte
car l'inclusion peut ne pas être stricte.

Posté par
carpediem
re : L'ensemble des parties d'un ensemble 10-10-21 à 09:08

salut

et plutôt que d'utiliser {x} € P(A B) partir d'un ensemble E quelconque

donc partir de soitE € P(A B)

et conclure sur les éléments de E ...

Posté par
malou Webmaster
re : L'ensemble des parties d'un ensemble 10-10-21 à 10:28

Bonjour
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