Bonjour alainpaul,
Je ne comprends pas très bien ce message.
Dans les autres sujets, tu poses y = tx avec t >0. Et c'est beaucoup plus clair.

Avec comme départ x >0 , y > 0 et x^y = y^x :
On peut poser y = tx avec t > 0 .
En manipulant des exposants, ou en utilisant des logarithme, selon ses goûts, on trouve
2 cas :
1) t =1 donc x = y .

2) t 1 et


que tu appelles seconde solution, en échangeant x et y , revient à remplacer t par 1/t .

Finalement y = tx revient au même que y=t^x dans le contexte x^y = y^x .
Cependant je trouve y = tx plus facile à justifier par t = y/x .

Bon,


As-tu essayé de résoudre ,il me semble que cela est plus facile

pour les autres cas où les variables x et y n'ont pas le même rôle  de poser

"y = tx   plus FACILE à justifier par  t = y/x ."  plus habituel surtout.

Alain

Bonne soirée,
Utiliser y=x^t revient à poser t = lny / lnx .
Il faut donc traiter à part le cas x = 1 . Ensuite t peut être négatif. C’est gênant quand on veut utiliser des exposants quelconques.
Bref, autant j'ai trouvé l’idée de poser y = tx séduisante ( voir Sans calculs ), autant y = = x^t m’embête.

En utilisant y = tx (ce qui revient à t = y/x ) , on trouve .
C’est ce que tu avais donné là Sans calculs .

Utiliser y = x^t revient à poser t = lny / lnx . Il faut donc à priori envisager à part le cas x= 1 qui donne le couple solution (1,1). Je n’ai pas fouillé le problème posé par le signe de t .
Avec y = x^t , je trouve .
Avec t = 1/3 , on retrouve le couple (1,1).

Pour finir : On passe du premier paramétrage au second en remplaçant t par 3t.

Bonne après-midi,

Oui.

Ce que tu avais produit sans calculs ne montre pas que la solution est unique.

Je te propose le paramétrage des solutions de :

En posant les conditions nécessaires .Pour le moment je souhaite rester dans R.


Amicalement,

Alain

Bonsoir alainpaul,
Peux-tu expliciter ce que tu entends par "ne montre pas que la solution est unique" ?
Je suppose que tu parles de et des paramétrages.


Pour , est-ce bien ?
Si oui, j'arrive à quelque chose avec y = tx² (ce qui revient à poser t = y / x² ) :

Bon dimanche,

Nous tenons donc la solution pour un certain nombre d'équations puissances.

Je quitte donc ce terrain.

Serais-tu d'accord pour creuser le problème de sommes diophantiennes,voir
Pb;

Alain

Bonne fin de dimanche,
Je veux bien "creuser le problème de sommes diophantiennes", mais où ?

Je reste encore un peu sur le terrain .
Tout d'abord des valeurs de t qui donnent des valeurs entières pour x et y :
t = 1 x = y = 1 . t = 3 x = 3 y = 27 . t = 4 x = 2 y = 16 .
Peut-on en trouver d'autres ?

t = 8 donne x irrationnel. x = 2 y = 16 . (2)¹⁶ = 16² .

Enfin, il y a plein de valeurs de t qui donnent x et y rationnels :
2,1 2,2 5/2 3/2 1,8 ...

Bonsoir Sylvieg ,

J'aimerais avoir ton avis sur un exercice de maths lycée ,classe de première
sur le site intitulé 'Problème de maths insoluble'.
Il s'agit de trouver 5 entiers naturels connus par leurs 10 sommes 2 à 2 .

Que penses-tu de la solution que j'apporte dans le dernier mail?

Je souhaiterais creuser ce type de problème,

Alain

Bon samedi alainpaul,
Je viens de retomber par hasard sur ce sujet où on cherche les solutions entières de :
Problème Olympiade

Il y a un lien avec la solution :
C'est le problème 5 .

Bonjour Sylvieg,

Merci pour tes informations.
Je vois que tu as bien creusé la question,

Amicalement,

Alain

Bonjour,

De l'équation :  
Je vois que le thème ressurgit  sur le site terminale avec: ici x est connu.

Ce que nous avions mis en évidence
valable aussi pour t=1 .

Alain