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La limite

Posté par
Omarztoti 24-02-19 à 21:43

Salut ! S'il vous plait comment faire pour calculer lim quand x tend vers 1 de x a la puissance p+1  moins x(p+1) +p le tout divisé par (x-1)au carré avec p appartient a N* ( c'est tout les données qu on a )

Merci d'avance 😊!

Posté par
mmahere : La limite 24-02-19 à 22:09

Bonjour,

Ton problème est la forme indéterminée. Il faut ici effectuer un changement de variable. Tu poses X=x-1 et donc lorsque x tend vers 1, X tend vers 0. L'indétermination est levée et tu peux calculer ta limite.

Posté par
Omarztotire : La limite 27-02-19 à 13:20

mmahemmahemmahe

mmahe @ 24-02-2019 à 22:09

Bonjour,

Ton problème est la forme indéterminée. Il faut ici effectuer un changement de variable. Tu poses X=x-1 et donc lorsque x tend vers 1, X tend vers 0. L'indétermination est levée et tu peux calculer ta limite.
  bonjour ! Tout d'abord merci pour ton aide  j'ai deja essayer cette methode mais ça n'a pas marché ou peut etre je n'ai pas su l appliquer ... J'ai essayer une autre methode qui a marché il s'agit de faire la division de horner ou euclideene du numerateur pour enfin simplifier par x-1 et puis la 2eme simplification serait clair . Merci et bonne journée

Posté par
carpediemre : La limite 27-02-19 à 13:44

Omarztoti @ 24-02-2019 à 21:43

Salut ! S'il vous plait comment faire pour calculer lim quand x tend vers 1 de x a la puissance p+1  moins x(p+1) +p le tout divisé par (x-1)au carré
incompréhensible ...

comment fais-tu pour écrire cela sur une calculatrice ?

c'est la même chose ici ... quand on sait écrire un calcul ...

Posté par
Omarztotire : La limite 01-03-19 à 07:41

carpediem @ 27-02-2019 à 13:44

Omarztoti @ 24-02-2019 à 21:43

Salut ! S'il vous plait comment faire pour calculer lim quand x tend vers 1 de x a la puissance p+1  moins x(p+1) +p le tout divisé par (x-1)au carré
incompréhensible ...

comment fais-tu pour écrire cela sur une calculatrice ?  

c'est la même chose ici ... quand on sait écrire un calcul ...
bonjour... ce n'est pas une limite a calculer avec la calculatrice c'est loin d'etre simple a ce point là car c un exercice bonus

Posté par
Glapion Moderateurre : La limite 01-03-19 à 13:26

Bonjour, évidemment avec la règle du marquis de L'Hôpital on trouve tout de suite mais je suppose que tu ne connais pas.

Alors l'astuce c'est de factoriser deux fois (x-1) au numérateur (calculs pas faciles à suivre) :

\dfrac{x^{p+1}-x(p+1)+p}{(x-1)^2} = \dfrac{x^{p+1}-1-(p+1)(x-1))}{(x-1)^2}=
\dfrac{(x-1)(x^p+x^{p-1}+...+x+1-(p+1))}{(x-1)^2}=\dfrac{x^p+x^{p-1}+...+x+1-(p+1)}{(x-1)}
=\dfrac{ (x^{p}-1)+ (x^{p-1}-1) + ....+(x-1)}{(x-1)}
=\dfrac{(x-1)[ (x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1)+ (x^{p-2}+x^{p-3}+...+x+1) + ...+(x+1)+1]}{(x-1)}
=(x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1)+(x^{p-2}+x^{p-3}+...+x+1)+...+(x+1)+1

qui tend donc vers p + (p-1)+....+2 + 1 = p(p+1)/2

Posté par
Omarztotire : La limite 02-03-19 à 12:57

Glapion @ 01-03-2019 à 13:26

Bonjour, évidemment avec la règle du marquis de L'Hôpital on trouve tout de suite mais je suppose que tu ne connais pas.

Alors l'astuce c'est de factoriser deux fois (x-1) au numérateur (calculs pas faciles à suivre) :

\dfrac{x^{p+1}-x(p+1)+p}{(x-1)^2} = \dfrac{x^{p+1}-1-(p+1)(x-1))}{(x-1)^2}=
\dfrac{(x-1)(x^p+x^{p-1}+...+x+1-(p+1))}{(x-1)^2}=\dfrac{x^p+x^{p-1}+...+x+1-(p+1)}{(x-1)}
=\dfrac{ (x^{p}-1)+ (x^{p-1}-1) + ....+(x-1)}{(x-1)}
=\dfrac{(x-1)[ (x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1)+  (x^{p-2}+x^{p-3}+...+x+1) + ...+(x+1)+1]}{(x-1)}
=(x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1)+(x^{p-2}+x^{p-3}+...+x+1)+...+(x+1)+1

qui tend donc vers p + (p-1)+....+2 + 1 =  p(p+1)/2
j'entend bien parler de cette regle de l hopital et j'ai bien demander au prof si on peut l utiliser mais il ma dit que c une methode hors programme et c'est encore un peu plus compliqué de l 'appliquer pour le niveau 1ere bac .... mais en tout cas merci infiniment 😊

Posté par
Glapion Moderateurre : La limite 02-03-19 à 13:07

Alors la règle de l'hôpital ça dit que quand tu as une forme indéterminée P(x)/Q(x) avec les deux qui tendent vers 0, la limite est la même que celle de P'(x)/Q'(x)

donc ici il suffit de dériver haut et bas, ça donne

\dfrac{(p+1)x^{p}- (p+1) }{2(x-1) } et on recommence, on redérive, c'est la même limite que celle de :

\dfrac{p(p+1)x^{p-1} }{2 } qui tend vers \dfrac{p(p+1) }{2 }

Posté par
Omarztotire : La limite 02-03-19 à 13:37

Glapion @ 02-03-2019 à 13:07

Alors la règle de l'hôpital ça dit que quand tu as une forme indéterminée P(x)/Q(x) avec les deux qui tendent vers 0, la limite est la même que celle de P'(x)/Q'(x)

donc ici il suffit de dériver haut et bas, ça donne

\dfrac{(p+1)x^{p}- (p+1) }{2(x-1) } et on recommence, on redérive, c'est la même limite que celle de :

\dfrac{p(p+1)x^{p-1} }{2  }  qui tend vers \dfrac{p(p+1) }{2  }
ah je voiis ce n'ai pas si compliqué que je pensais 🤔 elle va m'aider a verifier n importe quelle lim si les conditions sont presentes ...  merci  beaucoup !😊🙏


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