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Niveau première
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La logique

Posté par
Khadija18
19-08-22 à 02:11

Bonjour, svp j'ai besoin de votre aide .


On considère le polynôme P(x)=ax^2+bx+c  où a ? IR* et (b;c)?IR^2  .
On pose :
=b^2-4ac . Et si >0 , on note x1 et x2 les solutions de l'équation P(x)=0) avec x1<x2
déterminer parmi les implications suivantes celles qui sont vraies
(Enoncé recopié après coup)


J'ai ajouté cette image car l'énoncé est long .
Voilà ma réponse :
1)vraie
2)vraie
3)fausse
4)vraie
5)vraie , je ne suis pas sûre mais voilà ma démonstration :
Supposons que ?<0 et a/c<0
On sait que l'équation admet 2 solutions.  
On a a/c<0 alors a<0 ou c<0 (c ? IR* car dans l'exo c ? IR absurde )
Si a>0 alors il y a deux solutions x1 positif et x2 négatif
Si a<0 on trouve la même chose donc P:5 .  
6) fausse.
Supposons que ?<0
On pose x=0
Si c<0 car c ? IR alors P(0)<0 .
Donc P:6 est fausse.  
7)vraiment je comprends pas pouvez-vous m'expliquer l'idée et je ne veux pas la réponse et  si vous avez des remarques et même des conseils pour la rédaction n'hésitez pas et merci ^^

La logique

malou edit

Posté par
alfpfeu
re : La logique 19-08-22 à 04:52

Bonjour,

Je crois savoir que dans ce cas où l'énoncé est long il est tout de même demandé d'écrire au moins le début. Cela sert à indexer les messages et peut permettre à d'autres de bénéficier de ce post.

Pour le 1) si ac <0 que penses-tu du signe du discriminant?

Merci

Posté par
alfpfeu
re : La logique 19-08-22 à 06:03

J'avais mal lu, oublies ce que j'ai dit pour le 1)
pour le 7) s'il existe deux réels x et y, prenons x <y par exemple,  tels que P(x)P(y) <0, comme P est une fonction continue sur [x;y], avec le theoreme des valeurs intermediaires que pouvons-nous dire?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : La logique 19-08-22 à 07:56

Bonjour,
@Khadija18,
Merci de
1) recopier les premières lignes de l'énoncé comme demandé par alfpfeu. Voir

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?

qu'il t'avait été demandé de lire.
2) rectifier ton niveau d'étude dans ton profil. Tu n'es pas en 5ème pour l'enseignement en France.

Aux aidants,
Merci de ne pas répondre tant qu'il n'y aura pas de réaction à ces demandes.

Posté par
ty59847
re : La logique 19-08-22 à 08:48

Je viole la consigne, mais c'est un coup de coeur.

Tu as de la chance, c'est un exercice que je trouve vraiment très formateur. Un exercice qui aurait sa place dans les fiches d'exercices du site.

Posté par
Khadija18
re : La logique 19-08-22 à 18:40

alfpfeu
Merci  pour la réponse ,  pouvez -vous me dire je juis en quel niveau pour l'enseignement en France afin de corriger ma faute et je m'excuse.  
TVI n'est pas autorisé au programme . Donc je ne peux pas l'utiliser dans la résolution .
Alors j'ai essayé de trouver une autre méthode par contraposée.
Par contraposée on a
[( (x;y)€IR^2 ; P(x).P(y)<0 )==>( >0 )] <=>[( Δ=<0)==>[(pour tout  (x;y )€IR^2);P(x)P(y)>=0 )]
Supposons que : Δ=<0
Si Δ=0 . On pose x1 la solution de cette équation.  
Si a>0
On prend : x €]-∞;x1[ et y ]x1;+∞[
Alors : P(x).P(y)<0 (absurde )
Même si a<0 on trouve cette absurdité.  
Si Δ<0
Alors il existe (y; x )€ IR^2 tel que P(y)<0
Et P(x)>0
Donc P(x).P(y) <0. Ce qui est absurde.  
Donc d'après le raisonnement par contraposée on a :
P:7 est fausse.
Cela est juste ou non svp .
Et merci ( pour P:6 ma démonstration est juste??!!)

Posté par
Khadija18
re : La logique 19-08-22 à 18:43

ty59847 @ 19-08-2022 à 08:48

Je viole la consigne, mais c'est un coup de coeur.

Tu as de la chance, c'est un exercice que je trouve vraiment très formateur. Un exercice qui aurait sa place dans les fiches d'exercices du site.

Merci , c'est un exercice de logique et vraiment ce livre est incroyable sachant que c'est l'exercice 11 alors les autres exercices sont plus difficiles

Posté par
Khadija18
re : La logique 20-08-22 à 01:43

Svp ma réponse est juste ou non .
Merci d'avance.

Posté par
Khadija18
re : La logique 20-08-22 à 11:14

Voilà donc l'exo:
On considère le polynôme P(x)=ax^2+bx+c  où a € IR* et (b;c)€IR^2  .
On pose :
=b^2-4ac . Et si >0 , on note x1 et x2 les solutions de l'équation P(x)=0) avec x1<x2

Posté par
malou Webmaster
re : La logique 20-08-22 à 12:35

merci. L'aide peut donc commencer.

edit > j'ai supprimé quelques messages devenus inutiles suite à la recopie de l'énoncé, pour alléger un peu

Posté par
Khadija18
re : La logique 20-08-22 à 14:02

D'accord merci !

Posté par
Rintaro
re : La logique 20-08-22 à 14:23

Bonjour,

pour les quatre premières réponses, je suis d'accord mais il faut clairement justifier (c'est ce qu'on attend dans un tel exercice).

Pour la (5), ta démonstration est illisible à cause des points d'exclamations qui s'immiscent dans ton message. Toutefois, de ce que j'arrive à comprendre de ta réponse, tu ne prouves rien (tu admets que si a est positif ou négatif, alors etc...). Je te conseille d'utiliser ce qu'on appelle la relation coefficients/racines qui est extrêmement utile en général (et elle peut se généraliser à des polynômes de degré plus grand, c'est pourquoi je trouve pas mal son utilisation ici). Il te suffit pour cela de remarquer que si P admet deux racines x1 et x2, nous avons :

a(X-x_1)(X-x_2) = aX^2 + bX + c

Par identification, tu pourras facilement exprimer a, b et c en fonction de a, x1 et x2. A partir de là, la justification est rapide. Est-ce clair ?

Pour la (6), tu évalues P en 0 : ok. Tu dis ensuite "si c < 0 ...", mais sais-tu s'il existe des polynômes tels que Delta < 0 et c < 0 ? Ça paraît bête, mais il faut aussi prouver que ton discriminant est bien négatif, et pour ça il ne suffit pas de prendre a et b au hasard. L'idée est toutefois bonne : continue.

Enfin, pour la (7), c'est le même problème qu'à la (5), tu ne prouves rien de ce que tu écris. C'est un peu comme si tu employais les résultats que l'on cherche à démontrer.

Par ailleurs, quelles sont tes connaissances actuelles ? Sais-tu que si Delta > 0, alors P admet deux solutions distinctes ? Sinon, tu peux carrément exploiter ceci en le prouvant. Une réduction de Gauss ou une écriture sous la forme canonique de ton polynôme (je ne sais pas quelle est la bonne terminologie à employer) donne immédiatement la quasi-totalité des réponses.

Posté par
alfpfeu
re : La logique 21-08-22 à 07:11

Bonjour,

Juste pour répondre à ta question, utiliser la contraposée pour la 7) est une bonne idée.
Supposons donc que le discriminant est négatif ou nul:
Soit le discriminant est < 0, dans ce cas, tu sais du cours (que tu peux retrouver rapidement avec la forme canonique) que le polynome n'a pas de racine. Du coup, que pouvons-nous dire de son signe?
soit il est nul , il existe une unique racine, quelle est la forme canonique du polynome dans ce cas?

Merci

Posté par
Rintaro
re : La logique 22-08-22 à 10:39

Khadija18, es-tu encore parmi nous ? Cet exercice est trop intéressant (pour des élèves de niveau Première) pour qu'on le laisse de côté !

Posté par
Khadija18
re : La logique 22-08-22 à 18:50

Bonjour , je m'excuse pour cette réponse tardive.  
Bon pour P5 j'ai multiplié les deux racines du polynôme et finalement j'ai trouvé que le produit et strictement négatif et par la suite P:5 est vraie.
6) j'ai trouvé un contre exemple.  
7)par la contraposée j'ai discuté les deux cas .
Si delta est nul et si delta est strictement négatif pour trouver finalement que P7 est fausse.
Si vous voulez j'écrirai ma rédaction .
Merci pour votre aide .
Mr Rintaro pouvez vous écrire votre méthode pour la P:5 j'ai essayé avec votre indice mais en vain .

Posté par
carpediem
re : La logique 22-08-22 à 21:35

salut

dans la 5/ il est étonnant de voir une division par c ... qui peut éventuellement être nul !

Posté par
Khadija18
re : La logique 22-08-22 à 21:40

Je pense que c'est un erreur dans les données mais bon dans ma méthode j'ai pas divisé pas c si tu essaies avec cette méthode tu vas trouver que x1.x2=c/a<0
Et puisque x1<x2 Donc le résultat souhaité.

Posté par
alfpfeu
re : La logique 23-08-22 à 01:45

Bonjour,

Dans le cas ou le discriminant est négatif, pour tout x et y reels, on aura P(x)P(y)>=0, car
soit P(x) est positif, et P(y) aussi donc P(x)P(y) >=0
soit P(x) est négatif et P(y) aussi et donc P(x)P(y)>=0
Es-tu d'accord avec cela?

Merci

Posté par
Khadija18
re : La logique 23-08-22 à 16:59

Oui 100%
En se basant sur la même méthode j'ai fait ma démonstration car si delta <0 alors le polynôme a le signe de a et donc j'ai trouvé la réponse

Posté par
alfpfeu
re : La logique 23-08-22 à 23:21

Bonjour,

donc l'implication de la question 7) est vraie.

Merci

Posté par
tetras
re : La logique 09-09-22 à 09:51

Citation :
Khadija18, es-tu encore parmi nous ? Cet exercice est trop intéressant (pour des élèves de niveau Première) pour qu'on le laisse de côté !

je suis d'accord on n'a pas répondu  à toutes les questions de cet exercice.
peut on le reprendre?
déjà pour la 1 je n'ai pas trouvé la me réponse que khadija
ac<0
-4ac>0
b²-4ac>0
et S={x1;x2}
donc P1 est faux, non?

Posté par
alfpfeu
re : La logique 09-09-22 à 10:02

Bonjour,

Relis la question 1, ac <0 implique que l'ensemble des solutions est non vide, ce qui est bien le cas.

alfpfeu @ 02-09-2022 à 02:34


1) Si ac<0 nous avons -4ac>0 donc le discriminant b^2-4ac est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble S est non vide.
L'implication est vraie.
2) Si a+b+c=0, donc 1 est une racine de P, et comme le produit des racines est \dfrac{c}{a}, nous avons bien S=\{1;\dfrac{c}{a}\}, qui est réduit à un seul élément dans le cas où c=a.
L'implication est vraie.
3) Si c=0, l'équation s'écrit ax^2+bx+0=x(ax+b)=0 donc 0 est alors une racine de P.
L'implication est fausse.
4) Comme a-b+c=0, -1 est une racine de P, et comme le produit des racines est \dfrac{c}{a}, nous avons bien S=\{-1;-\dfrac{c}{a}\}, qui est réduit à un seul élément dans le cas où c=a.
L'implication est vraie.
5) Comme le discriminant est strictement positif, il existe deux racines distinctes x_1 et x_2, avec x_1<x_2 et comme leur produit est \dfrac{c}{a}<0, elles sont donc non nulles et de signe contraire, nous avons donc x_1<0<x_2
L'implication est vraie.
6) Le discriminant strictement négatif nous assure que le polynôme est de signe constant mais il peut être négatif. Par exemple -x^2-x-1.
L'implication est fausse.
7) Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme est de signe constant, donc pour tout (x,y) \in \R^2;P(x).P(y)\geq 0.
Si le discriminant est nul, et notons x_0 la racine double, le polynôme est alors a(x-x_0)^2. De ce fait, pour tout (x,y) \in \R^2;P(x).P(y)=a^2(x-x_0)^2(y-x_0)^2\geq 0.
Par contraposée, nous venons de montrer l'implication demandée.
L'implication est vraie.

Merci

Posté par
tetras
re : La logique 09-09-22 à 10:05

pardon j'avais lu S=

Posté par
alfpfeu
re : La logique 09-09-22 à 10:08

J avais fait pareil

Posté par
tetras
re : La logique 09-09-22 à 10:13

pour la 2
a+b+c=0
b=-a-c
=a²+c²-2ac

je ne vois pas comment on montre que 1 est racine

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : La logique 09-09-22 à 10:31

En fait, l'exercice est corrigé ici :
Un peu de logique autour des équations du second degré \;

Posté par
tetras
re : La logique 09-09-22 à 10:54

ah merci
mais on n'explique pas pourquoi 1 est racine dans le 2)
c'est si évident que ça?

Posté par
malou Webmaster
re : La logique 09-09-22 à 11:02

x=1 est racine dans le 2) si lorsque tu remplaces x par 1 dans l'équation proposée.....

Posté par
tetras
re : La logique 09-09-22 à 11:05

P(1)=0
1a+1b+c=0

Posté par
malou Webmaster
re : La logique 09-09-22 à 11:14



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