1. Si nous avons donc le discriminant est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble est non vide.
L'implication est vraie.
2. Si , alors et est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien , qui est réduit à un seul élément dans le cas où .
L'implication est vraie.
3. Si , l'équation s'écrit donc est alors une racine de .
L'implication est fausse.
4. Comme , alors et est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien , qui est réduit à un seul élément dans le cas où .
L'implication est vraie.
5. Comme le discriminant est strictement positif, il existe deux racines distinctes et , avec et comme leur produit est , elles sont donc non nulles et de signe contraire, nous avons donc L'implication est vraie.
6. Le discriminant strictement négatif nous assure que le polynôme est de signe constant mais il peut être négatif. Par exemple .
L'implication est fausse.
7. Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme est de signe constant, donc pour tout .
Si le discriminant est nul, et notons la racine double, le polynôme est alors .
De ce fait, pour tout .
Par contraposée, nous venons de montrer l'implication demandée.
L'implication est vraie.
Publié par malou/alfpfeu
le
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=ax²+bx+c)
où 
on note 
et 
les solutions de l'équation =0)
avec
 \Longrightarrow x_1< 0< x_2)
![\Delta < 0 \Longrightarrow [(\forall x \in \textbf R ) P(x)> 0].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta < 0 \Longrightarrow [(\forall x \in \textbf R ) P(x)> 0].)
\in\textbf R^2\right)\;;\;P(\alpha).P(\beta)< 0 \Longrightarrow \Delta > 0 . )
nous avons 
donc le discriminant 
est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble 
est non vide.
, alors =0)
et 
est une racine de 
, et comme le produit des racines est 
, nous avons bien 
, qui est réduit à un seul élément dans le cas où 
.
, l'équation s'écrit =0)
donc 
est alors une racine de 
, alors =0)
et 
est une racine de 
, qui est réduit à un seul élément dans le cas où 
et comme leur produit est 
, elles sont donc non nulles et de signe contraire, nous avons donc 
)
.
 \in \R^2;P(x).P(y)\geq 0)
.
la racine double, le polynôme est alors ^2)
.  \in \R^2;P(x).P(y)=a^2(x-x_0)^2(y-x_0)^2\geq 0)
.
Voir la correction
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