Fiche de mathématiques
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Un peu de logique autour des équations du second degré

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(suivant une idée d'exercice posté sur notre forum d'aide)



exercice

On considère le polynôme P(x)=ax²+bx+ca\in \textbf R^*\;, b\in \textbf R \text{ et } c\in \textbf R\,\cdot

On pose : \Delta = b²-4ac\quad \text{ et }\quad S=\lbrace x\in \textbf R / ax²+bx+c=0\rbrace \quad \text{ et si } \;\Delta > 0 \;, on note x_1 et x_2 les solutions de l'équation P(x)=0 avec x_1 < x_2\,.

Déterminer parmi les implications suivantes celles qui sont vraies.

1. ac< 0 \Longrightarrow S\neq \varnothing

2. a+b+c=0 \Longrightarrow S=\lbrace 1 \,;\,\dfrac c a \rbrace.

3. c=0 \Longrightarrow S=\varnothing

4. b=a+c \Longrightarrow S=\lbrace -1 \,;\,-\dfrac c a \rbrace.

5. \left(\Delta > 0  \text{ et } \dfrac c a < 0\right) \Longrightarrow x_1< 0< x_2

6. \Delta < 0 \Longrightarrow [(\forall x \in \textbf R ) P(x)> 0].

7. \left(\exists(\alpha\,;\,\beta)\in\textbf R^2\right)\;;\;P(\alpha).P(\beta)< 0 \Longrightarrow \Delta > 0 .





1. Si  ac<0  nous avons  -4ac>0  donc le discriminant  b^2-4ac  est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble S est non vide.
L'implication est vraie.

2. Si  a+b+c=0,  alors   P(1)=0   et 1 est une racine de  P , et comme le produit des racines est  \dfrac{c}{a},  nous avons bien S=\left\lbrace1;\dfrac{c}{a}\right\rbrace, qui est réduit à un seul élément dans le cas où c=a.
L'implication est vraie.

3. Si  c=0,  l'équation s'écrit  ax^2+bx+0=x(ax+b)=0  donc  0  est alors une racine de  P.
L'implication est fausse.

4. Comme  a-b+c=0 ,  alors   P(-1)=0   et   -1  est une racine de  P, et comme le produit des racines est  \dfrac{c}{a},  nous avons bien  S=\left\lbrace-1;-\dfrac{c}{a}\right\rbrace,  qui est réduit à un seul élément dans le cas où  c=a.
L'implication est vraie.

5. Comme le discriminant est strictement positif, il existe deux racines distinctes  x_1 et x_2,  avec  x_1<x_2  et comme leur produit est  \dfrac{c}{a}<0,  elles sont donc non nulles et de signe contraire, nous avons donc  x_1<0<x_2
L'implication est vraie.

6. Le discriminant strictement négatif nous assure que le polynôme est de signe constant mais il peut être négatif. Par exemple  -(x^2+1).
L'implication est fausse.

7. Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme est de signe constant, donc pour tout  (x,y) \in \R^2;P(x).P(y)\geq 0.
Si le discriminant est nul, et notons  x_0  la racine double, le polynôme est alors  a(x-x_0)^2.
De ce fait, pour tout  (x,y) \in \R^2;P(x).P(y)=a^2(x-x_0)^2(y-x_0)^2\geq 0.
Par contraposée, nous venons de montrer l'implication demandée.
L'implication est vraie.
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