1. Si
nous avons
donc le discriminant
est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble
est non vide.
L'implication est vraie.
2. Si
, alors
et
est une racine de
, et comme le produit des racines est
, nous avons bien
, qui est réduit à un seul élément dans le cas où
.
L'implication est vraie.
3. Si
, l'équation s'écrit
donc
est alors une racine de
.
L'implication est fausse.
4. Comme
, alors
et
est une racine de
, et comme le produit des racines est
, nous avons bien
, qui est réduit à un seul élément dans le cas où
.
L'implication est vraie.
5. Comme le discriminant est strictement positif, il existe deux racines distinctes
et
, avec
et comme leur produit est
, elles sont donc non nulles et de signe contraire, nous avons donc
L'implication est vraie.
6. Le discriminant strictement négatif nous assure que le polynôme est de signe constant mais il peut être négatif. Par exemple
.
L'implication est fausse.
7. Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme est de signe constant, donc pour tout
.
Si le discriminant est nul, et notons
la racine double, le polynôme est alors
.
De ce fait, pour tout
.
Par contraposée, nous venons de montrer l'implication demandée.
L'implication est vraie.