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La partie entière

Posté par
Petit2nd
25-10-11 à 17:11

Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n <ou égale x < n + 1
Cet entier relatif n est appelé partie entière de x et il est noté E(x)
La définition de la partie entière se traduit donc par l'équivalence: E(x)= n <=> n <ou égale x < n+1

1.Placer sur un axe les nombres suivants, et déduisez en leur partie entière
Voilà ce que j'ai fait : E(2.53)=2 , E(-1.4)= -2 , E(3/4)=0 , E(21/5)=4 , E(racine carré de 2)= 1 , E(5)=5
2.Quels sont les nombres x tels que:
a.E(x)=7 J'ai trouvé l'intervalle [7,8[    b.E(x)=-2 => [-2,-1[   c.E(x)=0 => [0,1[
3. Tracer la courbe représentative de E lorsque x est dans l'intervalle [-3,4[ . Sa aussi j'ai trouvé.
4.Quels sont les nombres x tels que :
a.E(4x)=6 => 1.5<<x<1.75   b.E(1/4 x)=-3 => -12<<x<-8   c.E(2x-3)=4 => 3.5<<x<4   d.E(1/x)=1 => 0.5>x>>1
5.En utilisant la définition de la partie entière, démontrez que :
Pour tout x appartenant aR et pour tout p appartenant a Z: E(x+p)=E(x)+p  (E1)
Remarque en général f(a+b) n'égale pas f(a)+f(b), (E1) est donc à démontrer et pas à affirmer.
donc voila c'est sur cette dernière question que je bloque je ne vois pas la démarche à faire . Donc si vous poudrier m'aider sa serait sympa. Merci d'avance

Posté par
tranquilo_22
La partie entière 25-10-11 à 18:09

Bonjour,

tu peux démontres que E(x+p) E(x)+ p  puis  E(x)+ p E(x+p) ce qui prouve l'égalité (en effet si ab et ba alors a=b)

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 26-10-11 à 14:09

Merci de ta réponse, mais le problème c'est que je ne vois pas du tout comment démontrer ce que tu ma dit , pourrait tu être un peu plus précis stp .

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 26-10-11 à 15:14

Personne ne pourrait m'aider ?

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 26-10-11 à 15:35

Toujours personnes ?

Posté par
Petit2nd
La partie entière 26-10-11 à 16:26

Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n <ou égale x < n + 1
Cet entier relatif n est appelé partie entière de x et il est noté E(x)
La définition de la partie entière se traduit donc par l'équivalence: E(x)= n <=> n <ou égale x < n+1

1.Placer sur un axe les nombres suivants, et déduisez en leur partie entière
Voilà ce que j'ai fait : E(2.53)=2 , E(-1.4)= -2 , E(3/4)=0 , E(21/5)=4 , E(racine carré de 2)= 1 , E(5)=5
2.Quels sont les nombres x tels que:
a.E(x)=7 J'ai trouvé l'intervalle [7,8[    b.E(x)=-2 => [-2,-1[   c.E(x)=0 => [0,1[
3. Tracer la courbe représentative de E lorsque x est dans l'intervalle [-3,4[ . Sa aussi j'ai trouvé.
4.Quels sont les nombres x tels que :
a.E(4x)=6 => 1.5<<x<1.75   b.E(1/4 x)=-3 => -12<<x<-8   c.E(2x-3)=4 => 3.5<<x<4   d.E(1/x)=1 => 0.5>x>>1
5.En utilisant la définition de la partie entière, démontrez que :
Pour tout x appartenant aR et pour tout p appartenant a Z: E(x+p)=E(x)+p  (E1)
Remarque en général f(a+b) n'égale pas f(a)+f(b), (E1) est donc à démontrer et pas à affirmer.
donc voila c'est sur cette dernière question que je bloque je ne vois pas la démarche à faire . Donc si vous poudrier m'aider sa serait sympa. Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteur
re : La partie entière 26-10-11 à 16:32

\red Bonjour

Le début est OK.

5. On a E(x) \leq x < E(x)+1, donc E(x)+p\leq x+p < E(x)+p+1. On a donc encadré x+p par deux entiers consécutifs. Mais la partie entière est le seul entier qui vérifie ces inégalités, donc  E(x+p)=E(x)+p

*** message déplacé ***

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 26-10-11 à 16:41

Bonjour et merci pour ta réponse .
Je comprend bien ton raisonnement du début mais je dois dire que je ne comprend pas bien comment tu arrive à la conclusion que E(x+p)= E(x)+p, tu pourrais pas m'expliquer un peu plus si cela est possible ?

*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteur
re : La partie entière 26-10-11 à 16:51

On te dit dans la définition que E(x) est le seul entier qui vérifie E(x)\leq x < E(x)+1. En français, il existe un seul entier tel que x soit encadré par celui-ci et par son successeur. Si j'en exhibe un venant de n'importe où c'est forcément le bon.

Dans ton cas, on dit bien que p est entier, comme E(x) est entier, on est surs que E(x)+p est entier, puis on a l'encadrement. Conclusion: E(x)+p est la partie entière de x+p.

(c'est important que tu comprennes, c'est probablement la première, mais pas la dernière, fois que tu vois un raisonnement de ce genre)

*** message déplacé ***

Posté par
tranquilo_22
La partie entière 26-10-11 à 17:26

Bonjour,
une autre méthode:
E(x + p) est la partie entière du réel (x + p) donc il existe un entier n tel que :

(1) n ≤ x + p ≤ n + 1

Donc
E(x + p) = n

On remplace dans (1) puis on soustrait p:

n - p ≤ x ≤ n - p + 1 donc  E(x) = n - p par définition de la partie entière

d'où E(x) = n - p <══> E(x) + p = n <══> E(x) + p = E(x + p) <==> E(x) + E(p) = E(x + p)

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 26-10-11 à 18:04

Merci. C'est maintenant beaucoup plus clair.

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 26-10-11 à 18:11

Merci.Je crois avoir bien tout compris .
Voila comment j'ai rédigé:
nous savons que E(x)=n, donc E(x)<<x<E(x)+1
Sachant que p est un entier et que E(x) également, nous pouvons en déduire que E(x)+p sera entier.
Ainsi, E(x)<< x < E(x)+p+1
      E(x)+p << x+p < E(x)+p+1
E(x)+p est donc la partie entière de x+p
Nous pouvons donc en conclure que E(x)+p = E(x+p)

*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteur
re : La partie entière 27-10-11 à 14:12

C'est bien l'idée... Mais tu n'écris pas cette inégalité

Citation :
E(x)<< x < E(x)+p+1


tu ajoutes p à tous les membres de l'inégalité de définition de E(x).

*** message déplacé ***

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 30-10-11 à 13:29

D'accord bah je laisse

Citation :
E(x)+p << x+p < E(x)+p+1
et c'est tout ?

*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteur
re : La partie entière 30-10-11 à 14:18

Oui, plus l'explication sur l'unicité.

*** message déplacé ***

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 30-10-11 à 15:54

L'unicité ?

*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteur
re : La partie entière 30-10-11 à 15:58

Oui, pourquoi cette inégalité assure que E(x+p)=E(x)+p

*** message déplacé ***

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 30-10-11 à 16:04

Bah c'est pas ce que j'ai mit avant

Citation :
nous savons que E(x)=n, donc E(x)<<x<E(x)+1
Sachant que p est un entier et que E(x) également, nous pouvons en déduire que E(x)+p sera entier.


*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteur
re : La partie entière 30-10-11 à 16:17

Si, et tu continues, donc x+p est compris entre l'entier E(x)+p et son successeur, ce qui montre que E(x)+p est bien la partie entière de x+p.

*** message déplacé ***

Posté par
Petit2nd
re : La partie entière 30-10-11 à 16:19

Oui voila merci c'est bon c'est ok

*** message déplacé ***



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