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La somme des cubes de 3 entiers consécutif

Posté par Merwane (invité) 19-10-05 à 21:15

Bonjour, est ce que vous pouvez m'aider à démontrer que la somme des cubes de 3 entiers consécutifs est divisible par 9 .

J'ai essayer de faire : (x-1)^3 + x + (x+1)^3

Mais à la fin j'ai seulement prouver que c'est divisible par 3 ( 3(x^3+2x) )

Et une autre question : Existe t il des entiers relatifs x,y et z tels que x²-3y²-4z² = 3 ?

pour cette question je ne sais pas de quoi partir...

Merci de votre aide!

Posté par Baobab (invité)RE:La somme des cubes de 3 entiers consécutif 19-10-05 à 22:35

Bonsoir Merwane

Je pense que tu t'es tromper en devellopant car je trouve :
(x-1)^3+x^3+(x+1)^3=x^3-3x^2+3x-1+x^3+x^3+3x^2+3x+1
ce qui fait :
\underline{(x-1)^3+x^3+(x+1)^3}=3x^3+6x=\fbox{3x(x^2+2)}

Par suite: si x=3p alors x(x^2+2)=3p(9p^2+2)=3(9p^3+2) donc x(x^2+2) est divisible par 3
             si x=3p+1 alors x(x^2+2)=(3p+1)(9p^2+6p+3)=3(3p+1)(3p^2+2p+1) donc x(x^2+2) est divisible par 3
             si x=3p+2 alors x(x^2+2)=(3p+2)(9p^2+12p+2)=3(3p+2)(3p^2+4p+2) onc x(x^2+2) est divisible par 3

Par suite la somme de 3 cubes d'entiers consecutif est divisible par 9.


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